Что вычисляет этот калькулятор
Этот инструмент находит процентную точку (её также называют квантилем или обратной функцией распределения) гамма-распределения. По заданной вероятности и параметрам гамма-распределения он возвращает значение x, при котором функция распределения (CDF) гамма-распределения равна этой вероятности. Это операция, обратная вычислению CDF, и она широко применяется в теории надёжности, байесовской статистике, теории массового обслуживания, а также при моделировании осадков и в гидрологии.
Как пользоваться
Сначала укажите, какую вероятность вы вводите: нижнюю накопленную вероятность \(P\) (площадь слева от \(x\)) или верхнюю накопленную вероятность \(Q\) (площадь справа). Введите вероятность строго в интервале от 0 до 1, параметр формы \(a\) (альфа, должен быть больше 0) и параметр масштаба \(b\) (тета, тоже больше 0). Среднее значение гамма-распределения равно произведению \(a\) на \(b\). Если вы задаёте верхнюю вероятность \(Q\), калькулятор сначала переводит её в \(P = 1 - Q\), а уже затем выполняет обращение.
Разбор формулы
В параметризации через масштаб CDF гамма-распределения записывается как \(F(x) = P_{\text{reg}}(a,\ x/b)\), где \(P_{\text{reg}}\) — регуляризованная нижняя неполная гамма-функция. Подстановка \(y = x/b\) делает задачу независимой от масштаба: решаем уравнение \(P_{\text{reg}}(a,\ y) = P\), после чего возвращаем \(x = b \cdot y\). Регуляризованная неполная гамма-функция вычисляется через разложение в ряд при малых \(y\) и через цепную дробь при больших \(y\), а для обращения используется начальное приближение Уилсона—Хилферти, уточняемое методом Ньютона, с методом деления отрезка пополам в качестве страховочного варианта.
Разобранный пример
Пусть тип вероятности — нижняя, вероятность = 0,95, форма \(a = 2\), масштаб \(b = 1\). При \(a = 2\) CDF имеет замкнутую форму \(1 - (1 + y)\cdot e^{-y}\). Решая уравнение $$1 - (1 + y)\cdot e^{-y} = 0{,}95,$$ получаем \(y \approx 4{,}7439\), то есть \(x \approx 4{,}7439\). Если же взять масштаб \(b = 3\), то $$x = 3 \cdot 4{,}7439 = 14{,}2317.$$
Частые вопросы
Что будет при a = 1? Гамма-распределение сводится к экспоненциальному со средним \(b\), и квантиль имеет точную замкнутую форму \(x = -b\cdot\ln(1 - P)\).
Какая используется параметризация? Через форму \(a\) и масштаб \(b\), поэтому среднее равно \(a\cdot b\). Если у вас задан параметр интенсивности (rate), то масштаб \(b = 1 / \text{rate}\).
Почему вероятность должна быть строго между 0 и 1? Ровно при 0 квантиль равен 0, а ровно при 1 он бесконечен, поэтому конечный результат получается только на открытом интервале \((0,\ 1)\).
