ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة النقطة المئوية (المعروفة أيضًا باسم الكمّ أو معكوس دالة التوزيع التراكمي) لتوزيع غاما. عند إدخال احتمال معيّن ومعاملات توزيع غاما، تُرجِع الأداة القيمة \(x\) التي تساوي عندها دالة التوزيع التراكمي (CDF) لغاما ذلك الاحتمال. إنها معكوس دالة CDF لغاما، وتُستخدَم على نطاق واسع في هندسة الموثوقية، والإحصاء البايزي، ونظرية الطوابير، ونمذجة الأمطار والهيدرولوجيا.
طريقة الاستخدام
حدِّد أولًا ما إذا كان احتمالك هو احتمالًا تراكميًا سفليًا \(P\) (المساحة إلى يسار \(x\)) أم احتمالًا تراكميًا علويًا \(Q\) (المساحة إلى يمين \(x\)). أدخِل الاحتمال بحيث يقع تمامًا بين 0 و1، ومعامل الشكل \(a\) (ألفا، ويجب أن يكون أكبر من 0)، ومعامل المقياس \(b\) (ثيتا، ويجب أن يكون أكبر من 0). متوسط توزيع غاما يساوي حاصل ضرب \(a\) في \(b\). وإذا استخدمت الاحتمال العلوي \(Q\), فإن الحاسبة تحوّله أولًا إلى \(P = 1 - Q\) قبل إجراء العكس.
شرح المعادلة
تُكتب دالة CDF لغاما في صيغة معامل المقياس على الشكل $$F(x) = P_{\text{reg}}\left(a,\ \frac{x}{b}\right)$$ حيث \(P_{\text{reg}}\) هي دالة غاما غير المكتملة السفلية المُنظَّمة. وبوضع \(y = \frac{x}{b}\) تصبح المسألة مستقلة عن المقياس: نحلّ المعادلة \(P_{\text{reg}}(a, y) = P\)، ثم نُرجِع \(x = b \cdot y\). تُحسب دالة غاما غير المكتملة المُنظَّمة باستخدام مفكوك متسلسلة للقيم الصغيرة من \(y\) وكسر مستمر للقيم الكبيرة، أما عملية العكس فتعتمد على تخمين أولي بطريقة ويلسون-هيلفرتي يُحسَّن بطريقة نيوتن، مع طريقة التنصيف كحل احتياطي للأمان.
مثال محلول
لنأخذ نوع الاحتمال = سفلي، الاحتمال = 0.95، معامل الشكل \(a = 2\)، معامل المقياس \(b = 1\). عند \(a = 2\) تكون لدالة CDF صيغة مغلقة هي \(1 - (1 + y)e^{-y}\). وبحلّ المعادلة $$1 - (1 + y)e^{-y} = 0.95$$ نحصل على \(y \approx 4.7439\)، وبذلك \(x \approx 4.7439\). وإذا استخدمنا معامل المقياس \(b = 3\) بدلًا من ذلك، فإن $$x = 3 \times 4.7439 = 14.2317.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما \(a = 1\)؟ يختزل توزيع غاما إلى التوزيع الأسي بمتوسط \(b\)، ويكون الكمّ في صيغة مغلقة دقيقة هي $$x = -b \times \ln(1 - P).$$
أي صيغة معاملات مُستخدَمة؟ معامل الشكل \(a\) ومعامل المقياس \(b\)، فيكون المتوسط هو حاصل ضرب \(a\) في \(b\). وإذا كان لديك معامل المعدّل (rate)، فإن معامل المقياس \(b = \frac{1}{\text{المعدّل}}\).
لماذا يجب أن يقع الاحتمال بين 0 و1؟ عند القيمة 0 بالضبط يكون الكمّ مساويًا للصفر، وعند القيمة 1 بالضبط يكون لانهائيًا، لذا فإن الفترة المفتوحة \((0, 1)\) وحدها هي التي تُعطي نتيجة منتهية.
