这个计算器能做什么
本工具用于计算伽马分布（Gamma 分布）的百分位点，也称为分位数或逆累积分布函数。给定一个概率值以及伽马分布的参数后，它会返回使伽马分布累积分布函数（CDF）等于该概率的取值 \(x\)。它是伽马 CDF 的逆运算，广泛应用于可靠性工程、贝叶斯统计、排队论以及降雨与水文建模等领域。
使用方法
首先选择你输入的概率属于下侧累积概率 \(P\)（\(x\) 左侧的面积），还是上侧累积概率 \(Q\)（\(x\) 右侧的面积）。然后输入一个严格介于 0 与 1 之间的概率值、形状参数 \(a\)（即 alpha，必须大于 0）以及尺度参数 \(b\)（即 theta，必须大于 0）。伽马分布的均值等于 \(a\) 乘以 \(b\)。如果你输入的是上侧概率 \(Q\)，计算器会先将其换算为 \(P = 1 - Q\)，再进行逆运算。
公式解析
在尺度参数化形式下，伽马分布的 CDF 为 \(F(x) = P_{\text{reg}}(a,\ x/b)\)，其中 \(P_{\text{reg}}\) 表示正则化下不完全伽马函数。令 \(y = x/b\) 可使问题与尺度无关：先求解 \(P_{\text{reg}}(a,\ y) = P\)，再返回 \(x = b\) 乘以 \(y\)。正则化不完全伽马函数在 \(y\) 较小时用级数展开求值，在 \(y\) 较大时则用连分式逼近；逆运算采用 Wilson-Hilferty 近似作为初始猜测值，再用牛顿迭代法精化，并以二分法作为安全兜底手段。
$$\text{P} = \frac{1}{\Gamma(\text{a})}\,\gamma\!\left(\text{a},\ \frac{x}{\text{b}}\right) \quad\Rightarrow\quad x = Q^{-1}$$
实例演示
设概率类型为下侧、概率 = 0.95、形状参数 \(a = 2\)、尺度参数 \(b = 1\)。当 \(a = 2\) 时，CDF 有闭式表达式 \(1 - (1 + y)e^{-y}\)。求解 $$1 - (1 + y)e^{-y} = 0.95$$ 可得 \(y\) 约为 \(4.7439\)，因此 \(x\) 约为 \(4.7439\)。若改用尺度参数 \(b = 3\)，则 $$x = 3 \times 4.7439 = 14.2317$$
常见问题
当 a = 1 时会怎样？此时伽马分布退化为均值为 \(b\) 的指数分布，其分位数有精确闭式解 \(x = -b \cdot \ln(1 - P)\)。
采用的是哪种参数化方式？采用形状参数 \(a\) 与尺度参数 \(b\)，因此均值为 \(a\) 乘以 \(b\)。如果你手头是速率参数（rate），那么尺度参数 \(b = 1 / \text{rate}\)。
为什么概率必须介于 0 与 1 之间？当概率恰好为 0 时分位数为 0，恰好为 1 时分位数为无穷大，因此只有在开区间 \((0, 1)\) 内才能得到有限的结果。
