Công cụ này làm gì
Công cụ này tính điểm phần trăm (còn gọi là phân vị hay hàm phân phối tích lũy nghịch đảo) của phân phối Gamma. Khi bạn nhập một xác suất cùng các tham số Gamma, công cụ trả về giá trị x mà tại đó hàm phân phối tích lũy (CDF) của Gamma bằng đúng xác suất đó. Đây chính là phép nghịch đảo của CDF Gamma, được dùng rộng rãi trong kỹ thuật độ tin cậy, thống kê Bayes, lý thuyết xếp hàng và mô hình hóa lượng mưa / thủy văn.
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn xem xác suất của bạn là xác suất tích lũy dưới P (diện tích bên trái x) hay xác suất tích lũy trên Q (diện tích bên phải). Sau đó nhập xác suất nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1, tham số hình dạng a (alpha, phải lớn hơn 0) và tham số tỉ lệ b (theta, phải lớn hơn 0). Giá trị trung bình của Gamma bằng a nhân b. Nếu bạn dùng xác suất trên Q, công cụ sẽ tự động đổi sang \(P = 1 - Q\) trước khi thực hiện phép nghịch đảo.
Giải thích công thức
Với cách tham số hóa theo tỉ lệ, CDF Gamma có dạng \(F(x) = P_{reg}(a,\ x/b)\), trong đó \(P_{reg}\) là hàm gamma không đầy đủ dưới đã chuẩn hóa. Công thức nghịch đảo:
$$\text{P} = \frac{1}{\Gamma(\text{a})}\,\gamma\!\left(\text{a},\ \frac{x}{\text{b}}\right) \quad\Rightarrow\quad x = Q^{-1}$$Đặt \(y = x/b\) giúp bài toán trở nên độc lập với tỉ lệ: ta giải \(P_{reg}(a,\ y) = P\) rồi trả về \(x = b \cdot y\). Khi dùng xác suất đuôi dưới, ta tìm:
$$\begin{gathered} \text{Find } x \text{ such that } \frac{\gamma\!\left(\text{a},\ \frac{x}{\text{b}}\right)}{\Gamma(\text{a})} = \text{P} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \gamma(a,z) &= \int_{0}^{z} t^{a-1} e^{-t}\,dt \\ \Gamma(a) &= \int_{0}^{\infty} t^{a-1} e^{-t}\,dt \end{aligned} \right. \end{gathered}$$còn khi dùng xác suất đuôi trên, ta tìm:
$$\begin{gathered} \text{Find } x \text{ such that } \frac{\gamma\!\left(\text{a},\ \frac{x}{\text{b}}\right)}{\Gamma(\text{a})} = 1 - \text{P} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \gamma(a,z) &= \int_{0}^{z} t^{a-1} e^{-t}\,dt \\ \Gamma(a) &= \int_{0}^{\infty} t^{a-1} e^{-t}\,dt \end{aligned} \right. \end{gathered}$$Hàm gamma không đầy đủ chuẩn hóa được tính bằng khai triển chuỗi cho y nhỏ và phân số liên tục cho y lớn; còn phép nghịch đảo dùng ước lượng ban đầu Wilson-Hilferty, được tinh chỉnh bằng phương pháp Newton, kèm theo phương pháp chia đôi (bisection) làm phương án dự phòng an toàn.
Ví dụ minh họa
Giả sử loại xác suất = dưới, xác suất = 0.95, hình dạng a = 2, tỉ lệ b = 1. Với \(a = 2\), CDF có dạng đóng \(1 - (1 + y)e^{-y}\). Giải phương trình \(1 - (1 + y)e^{-y} = 0.95\) ta được y khoảng 4.7439, nên x khoảng 4.7439. Nếu đổi tỉ lệ thành b = 3, ta có \(x = 3 \times 4.7439 = 14.2317\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu a = 1 thì sao? Khi đó phân phối Gamma rút gọn thành phân phối Mũ (Exponential) với trung bình b, và phân vị có dạng đóng chính xác là \(x = -b \cdot \ln(1 - P)\).
Công cụ dùng cách tham số hóa nào? Dùng tham số hình dạng a và tỉ lệ b, do đó trung bình bằng a nhân b. Nếu bạn có tham số tốc độ (rate), thì tỉ lệ \(b = 1 / rate\).
Vì sao xác suất phải nằm giữa 0 và 1? Tại đúng giá trị 0 thì phân vị bằng 0, còn tại đúng giá trị 1 thì phân vị là vô hạn, vì vậy chỉ khoảng mở (0, 1) mới cho kết quả hữu hạn.
