Công cụ này làm gì
Máy tính điểm phần trăm chi-bình phương nghịch đảo giúp bạn tìm phân vị x của phân phối chi-bình phương khi đã biết xác suất tích lũy và bậc tự do. Nói cách khác, công cụ giải hàm phân phối tích lũy nghịch đảo (inverse CDF), trả về giá trị tới hạn thường dùng trong kiểm định giả thuyết, khoảng tin cậy và phân tích độ phù hợp (goodness-of-fit). Đây là toán học thuần túy, mang tính phổ quát và cho kết quả như nhau ở bất kỳ đâu.
Cách sử dụng
Trước tiên, chọn chế độ tích lũy. Chọn Đuôi trái nếu xác suất P của bạn là \(P(X \le x)\) (diện tích phía bên trái). Chọn Đuôi phải nếu xác suất Q của bạn là \(P(X > x)\) (diện tích phía bên phải — đây là dạng phổ biến khi tra giá trị tới hạn). Nhập giá trị xác suất trong khoảng từ 0 đến 1, sau đó nhập bậc tự do (nu), giá trị này phải dương. Máy tính sẽ trả về \(x\).
Công thức
Hàm CDF của phân phối chi-bình phương với nu bậc tự do là \(F(x; \nu) = P\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{x}{2}\right)\), trong đó \(P\) là hàm gamma không hoàn chỉnh dưới đã chuẩn hóa (regularized lower incomplete gamma). Với đuôi trái, ta giải:
$$x = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = \text{P}$$Với đuôi phải, ta đặt \(p_{\text{eff}} = 1 - Q\) rồi giải:
$$x = F^{-1}\!\left(1 - \text{Q};\ \nu\right) \quad\text{such that}\quad P\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{x}{2}\right) = 1 - \text{Q}$$Phương trình được nghịch đảo bằng phương pháp số, sử dụng thuật toán chia đôi (bisection) với khoanh vùng ổn định trên hàm \(g(x) = F(x) - p_{\text{eff}}\).
Ví dụ minh họa
Đuôi phải, \(Q = 0{,}05\), \(\nu = 10\). Khi đó \(p_{\text{eff}} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\), nên ta giải \(F(x; 10) = 0{,}95\), tức là \(\text{regularizedGammaP}(5, x/2) = 0{,}95\). Nghiệm là \(x \approx 18{,}307\) — đây chính là giá trị tới hạn chi-bình phương quen thuộc cho 10 bậc tự do ở mức đuôi phải 5%.
Câu hỏi thường gặp
Bậc tự do ở đây nghĩa là gì? Đó là tham số hình dạng nu của phân phối chi-bình phương; tham số hình dạng gamma tương đương là \(\nu/2\) với hệ số tỷ lệ bằng 2.
Đuôi trái và đuôi phải khác nhau ra sao? Đuôi trái dùng diện tích phía bên trái \(x\); đuôi phải dùng diện tích phía bên phải \(x\). Các bảng tra giá trị tới hạn thường niêm yết theo xác suất đuôi phải.
Vì sao x đôi khi bằng 0 hoặc rất lớn? Khi xác suất đuôi trái hiệu dụng tiến về 0 thì \(x\) tiến về 0; khi nó tiến về 1 thì \(x\) tăng không giới hạn.
