Máy tính điểm phần trăm phân phối t-Student (t nghịch đảo / phân vị)

Nhập phép tính

Xác suất tích lũy P Một xác suất nằm trong khoảng từ 0 đến 1, không bao gồm hai đầu (ví dụ 0,975).

Loại đuôi Lower (P = area to the LEFT of t) Upper (P = area to the RIGHT of t)

Bậc tự do (nu) Bất kỳ giá trị dương nào; thường là một số nguyên dương.

Kết quả

Điểm phần trăm t

2,228139

phân vị thỏa mãn F(t) = xác suất đuôi dưới

Xác suất đuôi dưới được sử dụng	0,975
Diễn giải	F(t) = P(T ≤ t) = 0,975

Công cụ này làm gì

Công cụ này tính điểm phần trăm (còn gọi là phân vị, giá trị tới hạn, hay hàm CDF nghịch đảo) của phân phối t-Student. Khi bạn nhập xác suất tích lũy P và số bậc tự do nu, công cụ trả về giá trị t sao cho diện tích dưới đường mật độ t tính đến điểm t đúng bằng xác suất bạn chọn. Đây chính là hàm nghịch đảo của hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối t, tương ứng với hàm t.inv trong các phần mềm bảng tính. Phân phối t là toán học thuần túy mang tính phổ quát, nên kết quả áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi.

The percentage point t is the value where the cumulative area under the t-distribution curve equals p.

Cách sử dụng

Nhập xác suất tích lũy P (nằm trong khoảng từ 0 đến 1, không bao gồm hai đầu mút), chọn xem P là diện tích đuôi dưới (bên trái của t) hay diện tích đuôi trên (bên phải của t), rồi nhập số bậc tự do. Bên trong, công cụ luôn quy về xác suất đuôi dưới: với đuôi dưới thì dùng trực tiếp P, còn với đuôi trên thì dùng \(1 - P\). Sau đó nó giải tìm t.

Giải thích công thức

Hàm CDF của phân phối t-Student với nu bậc tự do được biểu diễn qua hàm beta không đầy đủ chính tắc I:

$$t = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right)$$

Với \(t \ge 0\), ta có $$F(t) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_{x}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right),\quad x=\frac{\nu}{\nu+t^{2}}$$ còn với \(t < 0\), do tính đối xứng, ta dùng $$F(t) = \tfrac{1}{2}\,I_{x}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right).$$ Hàm beta không đầy đủ được tính bằng phép xấp xỉ Lanczos cho hàm gamma kết hợp thuật toán phân số liên tục chuẩn. Vì F là hàm tăng nghiêm ngặt, giá trị nghịch đảo được tìm bằng phương pháp chia đôi (bisection) ổn định.

Quảng cáo

The t-distribution has heavier tails than the normal curve, narrowing toward it as degrees of freedom grow.

Ví dụ minh họa

Với \(P = 0{,}975\), đuôi dưới và \(\nu = 10\) bậc tự do, công cụ trả về \(t \approx\) 2,228139 — chính là giá trị tới hạn quen thuộc ở mức 95% hai phía (tức 97,5% một phía) thường thấy trong các bảng tra t. Cũng kết quả ấy sẽ xuất hiện khi nhập \(P = 0{,}025\) với đuôi trên, bởi diện tích đuôi trên 2,5% tương đương diện tích đuôi dưới 97,5%.

Câu hỏi thường gặp

Nếu tôi nhập \(P = 0\) hoặc \(P = 1\) thì sao? Điểm phần trăm khi đó không xác định; nó tiến tới âm vô cùng hoặc dương vô cùng, nên công cụ sẽ báo lỗi.

Điều gì xảy ra khi bậc tự do rất lớn? Phân phối t tiến dần về phân phối chuẩn tắc, nên với nu rất lớn, phân vị sẽ tiệm cận phân vị của phân phối chuẩn (ví dụ \(P = 0{,}975\) cho khoảng 1,95996).

nu có thể là số không nguyên không? Có. Mọi giá trị \(\nu > 0\) đều được chấp nhận, kể cả số thập phân.