حاسبة النقطة المئوية لتوزيع ستيودنت t (معكوس t / الكمّ)

أدخل الحساب

الاحتمال التراكمي P احتمال محصور تمامًا بين 0 و1 (مثل 0.975).

نوع الذيل Lower (P = area to the LEFT of t) Upper (P = area to the RIGHT of t)

درجات الحرية (nu) أي قيمة موجبة؛ وعادةً ما تكون عددًا صحيحًا موجبًا.

نتائج

النقطة المئوية t

٢٫٢٢٨١٣٩

الكمّ الذي يحقق F(t) = احتمال الذيل السفلي

احتمال الذيل السفلي المُستخدَم	٠٫٩٧٥
التفسير	F(t) = P(T ≤ t) = ٠٫٩٧٥

ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

تحسب هذه الأداة النقطة المئوية (وتُسمى أيضًا الكمّ أو القيمة الحرجة أو معكوس دالة التوزيع التراكمي) لـتوزيع ستيودنت t. عند إدخال احتمال تراكمي P ودرجات الحرية nu، تُرجع لك الأداة القيمة t التي تكون عندها المساحة تحت كثافة توزيع t حتى النقطة t مساوية للاحتمال المختار. وهي عكس دالة التوزيع التراكمي لتوزيع t، وتقابل دالة t.inv في برامج الجداول الحسابية. وتجدر الإشارة إلى أن توزيع t هو رياضيات بحتة عالمية تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي خصوصية لبلد معيّن.

The percentage point t is the value where the cumulative area under the t-distribution curve equals p.

طريقة الاستخدام

أدخل الاحتمال التراكمي P (على أن يكون محصورًا تمامًا بين 0 و1)، ثم حدّد ما إذا كان P يمثل مساحة الذيل السفلي (على يسار t) أم مساحة الذيل العلوي (على يمين t)، وأخيرًا أدخل درجات الحرية. تحوّل الحاسبة داخليًا كل القيم دائمًا إلى احتمال للذيل السفلي: ففي حالة الذيل السفلي تستخدم P كما هو، وفي حالة الذيل العلوي تستخدم \(1 - P\)، ثم تحلّ المعادلة لإيجاد t.

شرح الصيغة

تُكتب دالة التوزيع التراكمي لتوزيع ستيودنت t بدرجات حرية nu باستخدام دالة بيتا الناقصة المُنظَّمة I. فعندما يكون \(t \ge 0\)، تكون $$F(t) = 1 - 0.5 \cdot I_x\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right)$$ حيث \(x = \dfrac{\nu}{\nu + t^2}\)؛ أما عندما يكون \(t < 0\) فتُستخدم الصيغة المتماثلة $$F(t) = 0.5 \cdot I_x\!\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right).$$ وتُحسب دالة بيتا الناقصة باستعمال تقريب لانكزوس (Lanczos) لدالة غاما، إلى جانب خوارزمية الكسر المستمر القياسية. وبما أن F دالة متزايدة تمامًا، يُوجد المعكوس عبر طريقة التنصيف (bisection) الثابتة والموثوقة.

اعلان

The t-distribution has heavier tails than the normal curve, narrowing toward it as degrees of freedom grow.

مثال محلول

عند \(P = 0.975\) مع الذيل السفلي وdrجات حرية \(\nu = 10\)، تُرجع الحاسبة القيمة \(t \approx\) 2.228139 — وهي القيمة الحرجة المألوفة لمستوى ثقة 95% ثنائي الجانب (97.5% أحادي الجانب) المعروفة في جداول t. ويظهر الناتج نفسه عند إدخال \(P = 0.025\) مع الذيل العلوي، لأن مساحة 2.5% في الذيل العلوي تساوي مساحة 97.5% في الذيل السفلي.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا أدخلت \(P = 0\) أو \(P = 1\)؟ تكون النقطة المئوية غير معرَّفة، إذ تتباعد نحو سالب أو موجب اللانهاية، ولذلك تعرض الحاسبة رسالة خطأ.

ماذا يحدث عندما تكبر درجات الحرية كثيرًا؟ يقترب توزيع t من التوزيع الطبيعي القياسي، ولذلك عند القيم الكبيرة جدًا لـ nu يقترب الكمّ من كمّ التوزيع الطبيعي (فمثلًا \(P = 0.975\) تعطي نحو 1.95996).

هل يمكن أن تكون nu عددًا غير صحيح؟ نعم. تُقبل أي قيمة \(\nu > 0\)، بما في ذلك القيم الكسرية.