ماذا تفعل هذه الحاسبة
هذه أداة احتمالات رياضية صرفة تعتمد على التوزيع ذي الحدّين. تخبرك بمدى احتمال وقوع نتيجة محدّدة m مرّة بالضبط عبر n محاولة مستقلّة، حيث ينجح كلّ محاولة باحتمال p. والمثال الكلاسيكي هو رمي نردٍ عادل بستّة أوجه: يظهر وجهٌ واحد مختار باحتمال \(p = 1/6\) في كلّ رمية. غير أنّ الرياضيات هنا عامّة وتنطبق على أيّ احتمال نجاح لكلّ محاولة يقع بين 0 و1 — مثل رمي العملة، أو تسجيل الرميات الحرّة، أو نِسَب العيوب في الإنتاج، وغير ذلك.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد المحاولات n (من 1 إلى 500)، واحتمال النجاح في كلّ محاولة p، والعدد المستهدف من النجاحات m. يمكنك كتابة p كقيمة عشرية مثل 0.1667 أو ككسر مثل 1/6؛ وتقوم الحاسبة تلقائياً بتحويل الكسر إلى قيمة عشرية. والأهمّ أنّ p هو احتمال يقع في المجال من 0 إلى 1 وليس نسبة مئوية — أدخل 1/6 لا 16.67. وتُظهر النتيجة القيمة \(P(X = m)\) إضافةً إلى جدول كامل لـ \(P(X = m)\) لكلّ قيمة m من 0 إلى n، والاحتمال التراكمي \(P(X \le m)\) و \(P(X \ge m)\)، والمتوسّط، والتباين.
شرح الصيغة
احتمال وقوع m نجاح بالضبط هو
$$P(X = m) = \binom{\text{Trials }n}{\text{Successes }m} \, p^{\,m} \left(1-p\right)^{n-m}$$حيث \(C(n, m) = n! / (m! (n - m)!)\) هو المعامل الحدّي ("اختيار m من n"). أمّا المتوسّط فهو \(\mu = n\cdot p\)، والتباين \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1 - p)\). وعند القيم الكبيرة لـ n تجري الحاسبة العمليات في فضاء اللوغاريتمات باستخدام دالّة لوغاريتم غاما (log-gamma) لتفادي طغيان قيم المضروب (factorial).
مثال محلول
ارمِ النرد \(n = 10\) مرّات؛ ما احتمال ظهور وجهٍ مختار \(m = 2\) مرّة بالضبط؟ هنا \(p = 1/6\). لدينا \(C(10, 2) = 45\)، و \(p^{2} = 1/36 \approx 0.027778\)، و \((5/6)^8 \approx 0.232557\). ومن ثمّ
$$P(X = 2) = 45 \times 0.027778 \times 0.232557 \approx 0.29071$$أي نحو 29.07%. والمتوسّط هو \(10/6 \approx 1.667\)، والتباين \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1.389\).
الأسئلة الشائعة
هل p نسبة مئوية؟ لا. p احتمال يقع بين 0 و1. ولوجه النرد استعمل 1/6 أو نحو 0.1667، لا 16.67.
كيف أحسب احتمال الظهور "مرّة واحدة على الأقلّ"؟ استخدم \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). فمع 3 رميات نرد ووجه محدّد: \(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0.578704 \approx 0.4213\)، أي نحو 42.13%.
لماذا يكون مجموع احتمالات الجدول مساوياً 1؟ لأنّ كلّ تجربة لا بدّ أن تنتج عدداً من النجاحات يقع بين 0 و n، فتكون احتمالات جميع النتائج المتنافية مجموعها 1 بالضبط — وهذه طريقة مفيدة للتحقّق من صحّة الحساب.
