Qué hace esta calculadora
Es una herramienta de probabilidad puramente matemática basada en la distribución binomial. Te indica cuál es la probabilidad de que un resultado concreto ocurra exactamente m veces a lo largo de n intentos independientes, donde cada intento tiene éxito con probabilidad p. El ejemplo clásico es lanzar un dado equilibrado de seis caras: una cara elegida aparece con probabilidad \(p = 1/6\) en cada tirada. Sin embargo, la matemática es universal: sirve cualquier probabilidad de éxito por intento entre 0 y 1 (lanzamientos de moneda, tiros libres encestados, tasas de defectos y mucho más).
Cómo usarla
Introduce el número de intentos n (de 1 a 500), la probabilidad por intento p y un número objetivo de éxitos m. Puedes escribir p como decimal, por ejemplo 0.1667, o como fracción, por ejemplo 1/6; la calculadora convierte la fracción a decimal automáticamente. Es importante recordar que p es una probabilidad en el rango de 0 a 1, no un porcentaje: escribe 1/6, no 16.67. El resultado muestra \(P(X = m)\), además de una tabla completa de \(P(X = m)\) para cada m de 0 a n, las acumuladas \(P(X \le m)\) y \(P(X \ge m)\), la media y la varianza.
La fórmula explicada
La probabilidad de exactamente m éxitos es
$$P(X = m) = \binom{\text{Intentos }n}{\text{Éxitos }m} \, p^{\,m} \left(1-p\right)^{n-m}$$donde \(\binom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!\,(n-m)!}\) es el coeficiente binomial ("n sobre m"). La media es \(\mu = n\cdot p\) y la varianza es \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot(1 - p)\). Para valores grandes de n, la calculadora trabaja en espacio logarítmico usando la función log-gamma para evitar el desbordamiento de los factoriales.
Ejemplo resuelto
Lanzas un dado \(n = 10\) veces; ¿cuál es la probabilidad de que una cara elegida salga exactamente \(m = 2\) veces? Aquí \(p = 1/6\). \(\binom{10}{2} = 45\), \(p^{2} = 1/36 \approx 0.027778\) y \((5/6)^{8} \approx 0.232557\). Así que
$$P(X = 2) = 45 \times 0.027778 \times 0.232557 \approx 0.29071$$alrededor del 29.07%. La media es \(10/6 \approx 1.667\) y la varianza es \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1.389\).
Preguntas frecuentes
¿Es p un porcentaje? No. p es una probabilidad entre 0 y 1. Para una cara del dado usa 1/6 o aproximadamente 0.1667, no 16.67.
¿Cómo calculo "al menos una vez"? Usa \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). Para 3 dados y una cara concreta: \(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0.578704 \approx 0.4213\), es decir, alrededor del 42.13%.
¿Por qué las probabilidades de la tabla suman 1? Cada serie de intentos tiene que producir algún número de éxitos de 0 a n, de modo que las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes suman exactamente 1: una comprobación muy útil para verificar el cálculo.
