Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el punto percentil de una distribución de Poisson. A partir de una media (lambda) y una probabilidad acumulada objetivo, devuelve el recuento entero de eventos x que corresponde a esa probabilidad. Es la inversa de la función de distribución acumulada (CDF) de Poisson y funciona en dos modos: acumulada inferior P y acumulada superior Q.
Cómo utilizarla
Elige primero el modo de acumulación. En el modo acumulada inferior P, introduce la probabilidad objetivo de la cola inferior P; la calculadora devuelve el menor entero x tal que \(P(x, \lambda) \ge P\). En el modo acumulada superior Q, introduce la probabilidad de la cola superior Q; entonces devuelve el mayor x tal que \(Q(x, \lambda) \ge Q\), aplicando el convenio de este sitio que incluye x, es decir, \(Q(x) = 1 - P(x-1)\). A continuación, introduce la media lambda (el número esperado de eventos). Todos los datos son adimensionales.
La fórmula explicada
La función de masa de probabilidad es \(f(t, \lambda) = e^{-\lambda} \cdot \lambda^{t} / t!\). Los términos se construyen de forma iterativa para mayor estabilidad numérica: \(\text{término}(0) = e^{-\lambda}\) y \(\text{término}(t) = \text{término}(t-1) \cdot \lambda / t\), lo que evita el desbordamiento que producirían \(\lambda^{t}\) y \(t!\). La acumulada inferior es la suma progresiva de estos términos; la acumulada superior es 1 menos la acumulada inferior desplazada un índice.
$$x^{*} = \min\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : \sum_{k=0}^{x} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$$$x^{*} = \max\left\{\, x \in \mathbb{Z}_{\ge 0} : 1 - \sum_{k=0}^{x-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!} \ge \text{p} \,\right\}, \quad \lambda = \text{Mean } \lambda$$
Ejemplo resuelto
Con \(P = 0{,}3\) y \(\lambda = 5\) en modo inferior, la acumulada progresiva es \(P(0)=0{,}0067\), \(P(1)=0{,}0404\), \(P(2)=0{,}1247\), \(P(3)=0{,}2650\), \(P(4)=0{,}4405\). El primer x que alcanza \(0{,}3\) es \(x = 4\). En modo superior, con \(Q = 0{,}3\) y \(\lambda = 5\), tenemos \(Q(6)=0{,}384\) y \(Q(7)=0{,}238\), de modo que el mayor x con \(Q \ge 0{,}3\) es \(x = 6\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué el modo superior incluye x en la suma? Este sitio define \(Q(x)\) como la suma desde \(t = x\) hasta infinito, es decir, \(Q(x) = 1 - P(x-1)\), lo que difiere del convenio habitual \(P(X > x)\).
¿Qué ocurre cuando lambda = 0? Toda la masa se concentra en \(t = 0\), así que el percentil inferior es 0 y \(Q(x)=0\) para cualquier \(x \ge 1\).
¿Y si introduzco una probabilidad fuera del intervalo de 0 a 1? La calculadora la marca como no válida; las probabilidades deben cumplir \(0 \le P, Q \le 1\) y \(\lambda \ge 0\).
