¿Qué es la calculadora de distribución de Poisson?
La distribución de Poisson modela el número de sucesos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio, partiendo de una tasa media constante conocida (la media) y suponiendo que los sucesos se producen de forma independiente. Esta calculadora tabula tres magnitudes sobre una secuencia de valores de x: la función de probabilidad \(f(x;\lambda)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\).
Cómo usarla
Elige qué serie quieres resaltar (la función de probabilidad \(f\), la acumulada inferior \(P\) o la acumulada superior \(Q\)). Introduce el valor medio \(\lambda\) (debe ser \(\ge 0\)), el valor inicial de x, el incremento (paso) y el número de repeticiones (filas). La calculadora genera $$x = x_{\text{Inicial}},\ x_{\text{Inicial}}+\text{paso},\ x_{\text{Inicial}}+2\cdot\text{paso},\ \ldots$$ y muestra \(f\), \(P\) y \(Q\) para cada valor, destacando la columna seleccionada.
La fórmula explicada
La función de probabilidad es $$f(x;\lambda) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{x}}{x!}.$$ La distribución acumulada inferior suma todas las masas hasta x: $$P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} f(t;\lambda).$$ La probabilidad acumulada superior incluye el propio término en x: $$Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda),$$ de modo que \(P\) y \(Q\) se solapan en \(f(x)\). Para mayor estabilidad numérica calculamos \(f\) mediante logaritmos de factoriales: $$f = \exp\!\left(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!)\right).$$
Ejemplo resuelto
Con \(\lambda = 5\) y \(x = 0\): \(e^{-5} = 0{,}006737947\), por lo que \(f(0) = 0{,}006737947\), \(P(0) = 0{,}006737947\) y $$Q(0) = 1 - 0{,}006737947 + 0{,}006737947 = 1.$$ En \(x = 5\), \(f(5) = 0{,}175467\), \(P(5) = 0{,}615961\) y \(Q(5) = 0{,}559507\); es decir, alrededor del 61,6 % de la masa de probabilidad se concentra en \(X \le 5\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué P + Q supera 1? Porque tanto la acumulada inferior \(P\) (\(X \le x\)) como la acumulada superior \(Q\) (\(X \ge x\)) incluyen la masa puntual \(f(x)\); su suma es \(1 + f(x)\).
¿Qué ocurre cuando \(\lambda = 0\)? Toda la masa se concentra en \(x = 0\): \(f(0) = 1\), \(f(x) = 0\) para \(x > 0\) y \(P(x) = 1\) para todo \(x \ge 0\).
¿Puede \(\lambda\) no ser un número entero? Sí: \(\lambda\) es una tasa y puede tomar cualquier valor \(\ge 0\); los valores de x son enteros no negativos.
