Calculadora de Distribución Binomial

Lower cumulative P(X ≤ x)	0,7553372
Upper cumulative P(X ≥ x)	0,40440127
Expectation (mean) = n·p	8

¿Qué es la Calculadora de Distribución Binomial?

Esta herramienta evalúa la distribución binomial para un número fijo de ensayos independientes. A partir del número de éxitos x, el número de ensayos n y la probabilidad de éxito en un solo ensayo p, devuelve la probabilidad de obtener exactamente x éxitos (la probabilidad de masa), la probabilidad acumulada inferior, la probabilidad acumulada superior y la media. El modelo binomial se aplica siempre que repites el mismo experimento de tipo sí/no un número fijo de veces con una probabilidad de éxito constante: lanzamientos de moneda, piezas defectuosas en un lote o preguntas de un examen acertadas al azar.

Gráfico de barras que muestra la masa de probabilidad binomial para cada número de éxitos — La fmp binomial da la probabilidad de cada número posible de éxitos x en n ensayos.

Cómo usarla

Introduce tres números sin unidades. Los éxitos x y los ensayos n deben ser números enteros que cumplan $0 \le x \le n$ y $n \ge 1$. La probabilidad p debe estar entre 0 y 1. Pulsa calcular para obtener los cuatro resultados a la vez. Ten en cuenta que se trata de una distribución discreta, por lo que el dato principal es una probabilidad de masa (una probabilidad real), no una densidad de probabilidad.

La fórmula explicada

La probabilidad de masa es

$$P(X = \text{x}) = \binom{\text{n}}{\text{x}} \, \text{p}^{\,\text{x}} \left(1 - \text{p}\right)^{\text{n} - \text{x}}$$

donde $C(n,x) = \dfrac{n!}{x!(n-x)!}$ es el coeficiente binomial, que cuenta de cuántas maneras pueden producirse x éxitos entre n ensayos. La probabilidad acumulada inferior $P(X \le x)$ suma $f(t)$ para t desde 0 hasta x, y la acumulada superior $Q(X \ge x)$ suma $f(t)$ para t desde x hasta n:

$$\begin{gathered} P(X \le \text{x}) = \sum_{t=0}^{\text{x}} \binom{\text{n}}{t} p^{t}(1-p)^{\,\text{n}-t} \\[0.8em] P(X \ge \text{x}) = \sum_{t=\text{x}}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{t} p^{t}(1-p)^{\,\text{n}-t} \\[0.8em] \mu = \text{n} \cdot \text{p} \end{gathered}$$

Como el punto $t=x$ se incluye en ambas sumas, se cumple que $P + Q - f(x) = 1$. La media es sencillamente $\mu = n \cdot p$. Los coeficientes se calculan con logaritmos de factoriales para mantener la estabilidad con valores grandes de n.

Diagrama que descompone la fórmula binomial en combinaciones, p elevado a x y (1-p) elevado a n menos x — La fórmula multiplica el número de combinaciones por las probabilidades de éxitos y fracasos.

Ejemplo resuelto

Para $x = 9$, $n = 20$, $p = 0{,}4$: $C(20,9) = 167960$, $p^{9} = 0{,}000262144$ y $0{,}6^{11} \approx 0{,}0036279706$. Así que

$$f = 167960 \times 0{,}000262144 \times 0{,}0036279706 \approx 0{,}15974$$

La media es $20 \times 0{,}4 = 8$. Al sumar obtenemos $P(X \le 9) \approx 0{,}75534$ y $Q(X \ge 9) \approx 0{,}40440$, que cumplen $0{,}75534 + 0{,}40440 - 0{,}15974 \approx 1$.

Definiciones y glosario

La distribución binomial modela el número de éxitos en un número fijo de experimentos independientes de sí/no. Los términos a continuación aparecen en toda esta calculadora.

Ensayo: una única repetición del experimento que resulta en uno de dos resultados posibles (p. ej., un lanzamiento de moneda).
Éxito: el resultado que estás contando, sea lo que defines que sea (cara, una pieza defectuosa, una respuesta correcta). Su complemento es un "fracaso".
n (número de ensayos): el número total de ensayos independientes realizados. Debe ser un número entero positivo fijo.
x (número de éxitos): el recuento específico de éxitos cuya probabilidad deseas, donde $0 \le x \le n$.
p (probabilidad de éxito): la probabilidad de que un único ensayo sea un éxito, un decimal entre 0 y 1.
q = 1 − p (probabilidad de fracaso): la probabilidad de que un único ensayo sea un fracaso.
Coeficiente binomial $\binom{n}{x}$: el número de formas distintas de elegir cuál de los $x$ de los $n$ ensayos son éxitos, calculado como $\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$.
Función de masa de probabilidad (pmf), $f(x)$: la probabilidad de exactamente $x$ éxitos, $f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$.
Probabilidad acumulada inferior, $P(X \le x)$: la probabilidad de como máximo $x$ éxitos, la suma de valores pmf de 0 a $x$.
Probabilidad acumulada superior, $P(X \ge x)$: la probabilidad de al menos $x$ éxitos, la suma de valores pmf de $x$ a $n$.
Media (valor esperado), $\mu = np$: el número promedio de éxitos esperados en muchas repeticiones.
Varianza, $\sigma^{2}=np(1-p)$: la dispersión de la distribución alrededor de su media.
Desviación estándar, $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$: la desviación típica del recuento de éxitos respecto a la media, en las mismas unidades que $x$.

Interpretación de tu resultado

Esta calculadora devuelve tres probabilidades y la media. Elige la que coincida con la redacción de tu pregunta:

pmf, $f(x)=P(X=x)$ — utiliza cuando quieras la probabilidad de exactamente $x$ éxitos, p. ej., "exactamente 5 caras en 10 lanzamientos".
Acumulada inferior, $P(X \le x)$ — utiliza para como máximo $x$ ("$x$ o menos"), p. ej., "5 o menos respuestas correctas".
Acumulada superior, $P(X \ge x)$ — utiliza para al menos $x$ ("$x$ o más"), p. ej., "al menos 1 pieza defectuosa".

Ten en cuenta que las piezas acumuladas se solapan en $x$: $P(X \le x)+P(X \ge x)=1+f(x)$, porque ambos rangos incluyen el valor $x$ en sí mismo. Para obtener estrictamente menos que $x$, utiliza $P(X \le x-1)$; para estrictamente más que $x$, utiliza $P(X \ge x+1)$.

La media $np$ es el número esperado de éxitos — el promedio a largo plazo si repitieras todo el experimento de $n$ ensayos muchas veces. No tiene que ser un número entero; un valor esperado de 4,5 simplemente describe un promedio.

Todas las probabilidades se informan como decimales entre 0 y 1 (multiplica por 100 para obtener un porcentaje). Un valor cercano a 0 significa que el evento es raro; cercano a 1, casi seguro.

Estos resultados son válidos solo cuando se cumplen los cuatro supuestos binomiales:

Número fijo de ensayos $n$, decidido antes de observar los resultados.
Dos resultados por ensayo — cada ensayo es un éxito o un fracaso.
Probabilidad constante $p$ de éxito en cada ensayo.
Independencia — el resultado de un ensayo no afecta a ningún otro.

Si los ensayos no son independientes o $p$ cambia entre ensayos (por ejemplo, muestreo sin reemplazo de una población pequeña), el modelo binomial es solo una aproximación.

Preguntas frecuentes

¿La acumulada superior incluye el valor x? Sí. Aquí $Q(X \ge x)$ incluye el punto $t=x$, por lo que es $P(X \ge x)$ y no $P(X > x)$.

¿Qué ocurre cuando p=0 o p=1? Usando la convención $0^{0}=1$, con $p=0$ se obtiene $f(0)=1$ y todas las demás probabilidades valen 0; con $p=1$ se obtiene $f(n)=1$.

¿Por qué "probabilidad de masa" y no "densidad"? La densidad corresponde a las distribuciones continuas; en una variable discreta cada resultado tiene una probabilidad real, por lo que el término correcto es "masa".