¿Qué es la distribución de Weibull?
La distribución de Weibull es una de las distribuciones continuas de probabilidad más versátiles y un pilar de la ingeniería de fiabilidad, el análisis de datos de vida útil y el modelado de supervivencia. Ajustando dos parámetros — un parámetro de forma m (también escrito como k o beta) y un parámetro de escala eta (también llamado lambda o a, la vida característica) — puede representar tasas de fallo que disminuyen, se mantienen constantes o aumentan con el tiempo. Esta calculadora emplea la forma estándar de 2 parámetros con escala y la ubicación fijada en cero, por lo que su soporte es \(x \ge 0\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce el valor x en el que quieres evaluar la distribución (\(x \ge 0\)), el parámetro de forma m (\(> 0\)) y el parámetro de escala eta (\(> 0\)). La herramienta devuelve tres resultados: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(X \le x)\) (la CDF) y la probabilidad acumulada superior \(P(X > x)\) (la función de supervivencia o fiabilidad). Ten en cuenta que \(F(x) + R(x)\) siempre suma 1.
Las fórmulas explicadas
Sea \(z = x / \eta\). La densidad es $$f(x) = \frac{m}{\eta} \cdot z^{m-1} \cdot e^{-z^{m}}$$ La función de distribución acumulada es $$F(x) = 1 - e^{-z^{m}}$$ y la función de supervivencia es $$R(x) = e^{-z^{m}}$$ El parámetro de forma controla el comportamiento del riesgo (tasa de fallo): con \(m = 1\) se reduce a la distribución exponencial (tasa de fallo constante, media \(\eta\)), con \(m = 2\) se obtiene la distribución de Rayleigh, y con \(m\) cercano a 3,6 se aproxima a una curva normal en forma de campana.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x = 1{,}5\), \(m = 2\), \(\eta = 1\). Entonces \(z = 1{,}5\) y \(z^m = 2{,}25\), de modo que \(e^{-2{,}25} = 0{,}105399\). La probabilidad acumulada superior es \(R = 0{,}105399\) y la acumulada inferior $$F = 1 - 0{,}105399 = 0{,}894601$$ La densidad es $$f = \frac{2}{1} \cdot 1{,}5^{1} \cdot 0{,}105399 = 0{,}316198$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(F(\eta)\) es aproximadamente 0,632 para cualquier valor de forma? Cuando \(x = \eta\), \(z = 1\), por lo que \(z^m = 1\) y \(F = 1 - e^{-1} = 0{,}6321\), sin depender de \(m\). Por eso a \(\eta\) se le llama vida característica.
¿Qué ocurre para \(x < 0\)? La Weibull de 2 parámetros tiene soporte \([0, \infty)\), así que ahí \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) y \(R(x) = 1\).
¿La escala necesita unidades? Los datos de entrada son números puros; \(x\) y \(\eta\) deben compartir las mismas unidades (por ejemplo, horas), pero el cálculo en sí es adimensional.
