ما هو توزيع ويبل؟
يُعد توزيع ويبل (Weibull) من أكثر التوزيعات الاحتمالية المتصلة مرونةً، وهو حجر الأساس في هندسة الموثوقية وتحليل بيانات العمر الافتراضي ونمذجة البقاء. فمن خلال ضبط معاملين اثنين — معامل الشكل m (ويُرمز له أيضًا بـ k أو بيتا) ومعامل المقياس eta (ويُرمز له بـ لامبدا أو a، أي العمر المميِّز) — يستطيع هذا التوزيع نمذجة معدلات الأعطال سواء كانت متناقصة أو ثابتة أو متزايدة مع مرور الوقت. تعتمد هذه الحاسبة على الصيغة القياسية ذات المعاملين (الشكل والمقياس) مع تثبيت معامل الموقع عند الصفر، ولذلك يكون مجال التعريف \(x \ge 0\).
كيف تستخدم هذه الحاسبة
أدخل القيمة x التي ترغب في تقييم التوزيع عندها (\(x \ge 0\))، ثم معامل الشكل m (\(> 0\))، ومعامل المقياس eta (\(> 0\)). تُعيد الأداة ثلاث نتائج: كثافة الاحتمال \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي الأدنى \(P(X \le x)\) (أي دالة التوزيع التراكمي CDF)، والاحتمال التراكمي الأعلى \(P(X > x)\) (أي دالة البقاء أو الموثوقية). لاحظ أن مجموع \(F(x) + R(x)\) يساوي دائمًا 1.
شرح المعادلات
لنفرض أن \(z = x / \eta\). تُحسب الكثافة بالعلاقة $$f(x) = \frac{m}{\eta} \cdot z^{m-1} \cdot e^{-z^{m}}$$ أما دالة التوزيع التراكمي فهي $$F(x) = 1 - e^{-z^{m}}$$ ودالة البقاء هي $$R(x) = e^{-z^{m}}$$ يتحكم معامل الشكل في سلوك معدل الخطر (الأعطال): فعندما \(m = 1\) يتحوّل التوزيع إلى التوزيع الأسي (معدل أعطال ثابت بمتوسط قدره \(\eta\))، وعندما \(m = 2\) نحصل على توزيع رايلي (Rayleigh)، وعندما يقترب \(m\) من 3.6 يقارب التوزيع منحنى الجرس الطبيعي.
مثال تطبيقي محلول
لنأخذ \(x = 1.5\) و\(m = 2\) و\(\eta = 1\). عندها يكون \(z = 1.5\) و\(z^{m} = 2.25\)، ومن ثَمّ \(e^{-2.25} = 0.105399\). يكون الاحتمال التراكمي الأعلى $$R = 0.105399$$ والاحتمال التراكمي الأدنى $$F = 1 - 0.105399 = 0.894601$$ أما الكثافة فهي $$f = \frac{2}{1} \cdot 1.5^{1} \cdot 0.105399 = 0.316198$$
الأسئلة الشائعة
لماذا تبلغ \(F(\eta)\) نحو 0.632 مهما كان معامل الشكل؟ عندما تكون \(x = \eta\) فإن \(z = 1\)، وبالتالي \(z^{m} = 1\) وتصبح \(F = 1 - e^{-1} = 0.6321\)، بصرف النظر عن قيمة \(m\). ولهذا السبب يُسمّى \(\eta\) بالعمر المميِّز.
ماذا يحدث عندما تكون \(x < 0\)؟ توزيع ويبل ذو المعاملين معرّف على المجال \([0, \infty)\)، ولذلك تكون \(f(x) = 0\) و\(F(x) = 0\) و\(R(x) = 1\) في هذه الحالة.
هل يحتاج المقياس إلى وحدات؟ المُدخلات أرقام مجرّدة؛ ويجب أن تتفق وحدتا \(x\) و\(\eta\) (كأن تكونا بالساعات مثلًا)، لكن الحساب نفسه لا أبعاد له (بلا وحدات).
