حاسبة التوزيع ذي الحدين

Lower cumulative P(X ≤ x)	٠٫٧٥٥٣٣٧٢
Upper cumulative P(X ≥ x)	٠٫٤٠٤٤٠١٢٧
Expectation (mean) = n·p	٨

ما هي حاسبة التوزيع ذي الحدين؟

تحسب هذه الأداة قيم التوزيع ذي الحدين لعدد ثابت من المحاولات المستقلة. فبمعرفة عدد النجاحات x، وعدد المحاولات n، واحتمال النجاح في المحاولة الواحدة p، تُرجع لك احتمال وقوع x نجاحات بالضبط (الكتلة الاحتمالية)، والاحتمال التراكمي السفلي، والاحتمال التراكمي العلوي، والمتوسط. ويصلح النموذج ذو الحدين كلما كررت التجربة نفسها ذات الإجابة بنعم أو لا عددًا ثابتًا من المرات مع بقاء احتمال النجاح ثابتًا، مثل رمي العملة، أو عدد القطع المعيبة في دفعة إنتاج، أو أسئلة اختبار تُجاب بشكل صحيح عن طريق التخمين.

مخطط أعمدة يوضح الكتلة الاحتمالية ذات الحدين لكل عدد من النجاحات — تعطي دالة الكتلة الاحتمالية ذات الحدين احتمال كل عدد ممكن من النجاحات x في n محاولة.

طريقة الاستخدام

أدخل ثلاثة أعداد فقط. يجب أن يكون عدد النجاحات x وعدد المحاولات n عددين صحيحين بحيث 0 ≤ x ≤ n و n ≥ 1. أما الاحتمال p فيجب أن يقع بين 0 و1. اضغط على «احسب» لتحصل على المخرجات الأربعة دفعة واحدة. لاحظ أن هذا توزيع متقطع، ولذلك فإن القيمة الرئيسية تمثل كتلة احتمالية (أي احتمال حقيقي) وليست كثافة احتمالية.

شرح المعادلة

الكتلة الاحتمالية هي $$f(x,n,p) = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x}$$ حيث $\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!(n-x)!}$ هو المعامل ذو الحدين الذي يحسب عدد الطرق التي يمكن أن تقع بها x نجاحات بين n محاولة. ويُحسب الاحتمال التراكمي السفلي $P(X \le x)$ بجمع قيم $f(t)$ لكل t من 0 إلى x، بينما يُحسب الاحتمال التراكمي العلوي $Q(X \ge x)$ بجمع قيم $f(t)$ لكل t من x إلى n. وبما أن النقطة $t = x$ مُدرجة في كلا المجموعين، فإن $P + Q - f(x) = 1$. أما المتوسط فهو ببساطة $\mu = n \cdot p$. وتُحسب المعاملات باستخدام لوغاريتمات المضروب لتبقى مستقرة عدديًا عند قيم n الكبيرة.

اعلان

رسم يقسم صيغة ذات الحدين إلى توافيق وp أس x و(1-p) أس n ناقص x — تضرب الصيغة عدد الترتيبات في احتمالات النجاحات والإخفاقات.

مثال محلول

عند $x = 9$ و $n = 20$ و $p = 0.4$: نجد أن $\binom{20}{9} = 167960$، و $p^{9} = 0.000262144$، و $0.6^{11} \approx 0.0036279706$. ومن ثم $$f = 167960 \times 0.000262144 \times 0.0036279706 \approx 0.15974$$ والمتوسط هو $20 \times 0.4 = 8$. وبجمع القيم نحصل على $P(X \le 9) \approx 0.75534$ و $Q(X \ge 9) \approx 0.40440$، وهما يحققان $0.75534 + 0.40440 - 0.15974 \approx 1$.

التعريفات والمسرد

التوزيع ذو الحدين يمثل عدد النجاحات في عدد ثابت من التجارب المستقلة نعم/لا. المصطلحات أدناه تظهر في جميع أنحاء هذه الآلة الحاسبة.

التجربة: تكرار واحد للتجربة ينتج عنه أحد النتائج المحتملة (مثل رمية عملة واحدة).
النجاح: النتيجة التي تعدها، مهما حددتها (الوجه، جزء معيب، تخمين صحيح). مكملها هو "فشل".
n (عدد التجارب): العدد الإجمالي للتجارب المستقلة المجراة. يجب أن يكون عدداً صحيحاً موجباً ثابتاً.
x (عدد النجاحات): العدد المحدد للنجاحات الذي تريد احتمالياته، حيث $0 \le x \le n$.
p (احتمال النجاح): احتمال أن تكون أي تجربة واحدة نجاحاً، عدد عشري بين 0 و1.
q = 1 − p (احتمال الفشل): احتمال أن تكون التجربة الواحدة فشلاً.
معامل ذو الحدين $\binom{n}{x}$: عدد الطرق المميزة لاختيار أي $x$ من $n$ التجارب تكون نجاحات، يُحسب كـ $\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$.
دالة الكتلة الاحتمالية (pmf)، $f(x)$: احتمال بالضبط $x$ نجاحات، $f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$.
الاحتمال التراكمي السفلى، $P(X \le x)$: احتمال على الأكثر $x$ نجاحات، مجموع قيم pmf من 0 إلى $x$.
الاحتمال التراكمي العلوى، $P(X \ge x)$: احتمال على الأقل $x$ نجاحات، مجموع قيم pmf من $x$ إلى $n$.
المتوسط (القيمة المتوقعة)، $\mu = np$: العدد المتوقع للنجاحات في المتوسط على مدى تكرارات كثيرة.
التباين، $\sigma^{2}=np(1-p)$: انتشار التوزيع حول وسطه.
الانحراف المعياري، $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$: الانحراف النموذجي لعدد النجاحات عن المتوسط، بنفس الوحدات مثل $x$.

اعلان

تفسير نتيجتك

تعيد هذه الآلة الحاسبة ثلاثة احتمالات والمتوسط. اختر تلك التي تتطابق مع صياغة سؤالك:

pmf، $f(x)=P(X=x)$ — استخدم عند رغبتك في فرصة بالضبط $x$ نجاحات، مثل "بالضبط 5 وجوه في 10 رميات".
التراكمي السفلى، $P(X \le x)$ — استخدم لـ على الأكثر $x$ ("$x$ أو أقل")، مثل "5 إجابات صحيحة أو أقل".
التراكمي العلوى، $P(X \ge x)$ — استخدم لـ على الأقل $x$ ("$x$ أو أكثر")، مثل "جزء معيب واحد على الأقل".

لاحظ أن أجزاء التراكمي تتداخل عند $x$: $P(X \le x)+P(X \ge x)=1+f(x)$، لأن كلا النطاقين يشمل القيمة $x$ بنفسه. للحصول على أقل من $x$ بشكل صارم، استخدم $P(X \le x-1)$؛ لأكثر من $x$ بشكل صارم، استخدم $P(X \ge x+1)$.

المتوسط $np$ هو عدد النجاحات المتوقع — المتوسط على المدى الطويل إذا كررت تجربة $n$-التجربة بأكملها عدة مرات. لا يجب أن يكون عدداً صحيحاً؛ قيمة متوقعة قدرها 4.5 ببساطة تصف متوسطاً.

تُبلَّغ جميع الاحتمالات كـ كسور عشرية بين 0 و1 (اضرب في 100 للحصول على نسبة مئوية). القيمة القريبة من 0 تعني أن الحدث نادر؛ القريبة من 1، شبه مؤكدة.

هذه النتائج صحيحة فقط عندما تبقى افتراضات ذات الحدين الأربعة:

عدد ثابت من التجارب $n$، يتم تحديده قبل ملاحظة النتائج.
نتيجتان لكل تجربة — كل تجربة هي نجاح أو فشل.
احتمال ثابت $p$ للنجاح في كل تجربة.
الاستقلال — نتيجة تجربة واحدة لا تؤثر على أي تجربة أخرى.

إذا لم تكن التجارب مستقلة أو إذا تغيرت $p$ بين التجارب (على سبيل المثال، الأخذ العينات بدون استبدال من مجتمع صغير)، فإن نموذج ذات الحدين هو فقط تقريب.

الأسئلة الشائعة

هل يشمل الاحتمال التراكمي العلوي النقطة x؟ نعم. هنا $Q(X \ge x)$ يشمل النقطة $t = x$، أي أنه يساوي $P(X \ge x)$ وليس $P(X > x)$.

ماذا يحدث عند p=0 أو p=1؟ باستخدام الاصطلاح $0^{0} = 1$، فإن $p = 0$ يعطي $f(0) = 1$ وجميع الاحتمالات الأخرى تساوي 0؛ أما $p = 1$ فيعطي $f(n) = 1$.

لماذا نقول «كتلة احتمالية» وليس «كثافة»؟ الكثافة تخص التوزيعات المتصلة؛ أما المتغير المتقطع فيحمل كل ناتج فيه احتمالًا فعليًا، ولذلك فإن «الكتلة» هي المصطلح الصحيح.