حاسبة النقطة المئينية للتوزيع ذي الحدين B(n, p)

عدد المحاولات n	٢٠
احتمال النجاح p	٠٫٢٥
الاحتمال التراكمي المستهدف	٠٫٣

ما هي حاسبة النقطة المئينية للتوزيع ذي الحدين؟

تقوم هذه الأداة بعكس دالة التوزيع التراكمي (CDF) لتوزيعٍ ذي حدين $B(n, p)$. فعند إعطائها احتمالاً تراكمياً مستهدفاً، تُرجِع القيمة $x$ — أي النقطة المئينية — التي يتحقق عندها ذلك الاحتمال. ولأن التوزيع ذا الحدين متقطّع، تأتي النتيجة عبر استكمالٍ خطيٍّ متّصل بين القيمتين الصحيحتين المحيطتين، ولذلك فإن $x$ لا تكون عدداً صحيحاً في العادة.

مخطط أعمدة لتوزيع ذي حدين مع تمييز المساحة التراكمية حتى النقطة المئوية — النقطة المئوية $x$ هي أصغر قيمة يبلغ عندها الاحتمال التراكمي الهدف $P$.

كيفية الاستخدام

اختر نمط التراكم: يعالج الاحتمال التراكمي السفلي P احتمالك على أنه $P(X \le x)$؛ بينما يعالج الاحتمال التراكمي العلوي Q احتمالك على أنه $P(X \ge x)$. ثم أدخل الاحتمال التراكمي المستهدف (بين 0 و1)، وعدد المحاولات $n$، واحتمال النجاح $p$ لمحاولةٍ واحدة. وتُرجِع الحاسبة النقطة المئينية $x$.

شرح المعادلة

دالة الكتلة الاحتمالية هي $f(x,n,p) = C(n,x)\cdot p^{x}\cdot(1-p)^{n-x}$. أما التوزيع التراكمي السفلي فهو $P(x) = \sum_{t=0}^{x} f(t)$. تحسب الأداة $F(k)$ لكل عدد صحيح $k$، ثم تجد الخطوة التي يتحقق عندها $F(k-1) < P \le F(k)$، وبعدها تُجري الاستكمال:

$$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}$$

أما النمط العلوي فيستخدم الذيل المكمّل $G(k) = P(X \ge k)$ بالطريقة نفسها.

اعلان

منحنى CDF متدرج يوضح الاستيفاء بين قيمتين تراكميتين لإيجاد النقطة المئوية — عكس دالة التوزيع التراكمي: يقع الاحتمال الهدف بين $F(k-1)$ و$F(k)$، ويُستوفى $x$ داخل تلك الخطوة.

مثال محلول

لنأخذ $n = 20$ و$p = 0.25$ واحتمالاً تراكمياً سفلياً $P = 0.3$: تعطي دالة التوزيع التراكمي $F(3) = 0.225156$ و$F(4) = 0.414842$. وبما أن $0.3$ تقع ضمن هذه الخطوة، فإن $$x = 3 + \frac{0.3 - 0.225156}{0.414842 - 0.225156} = 3 + 0.394672 = 3.3947.$$

اعلان

التعريفات والمسرد

التوزيع الثنائي $B(n,p)$ يمثل عدد النجاحات $X$ في $n$ تجارب مستقلة، كل منها بها احتمال نجاح $p$. تقوم هذه الحاسبة بعكس دالة التوزيع التراكمي (CDF) للعثور على نقطة المئين $x$ التي تطابق احتمالية تراكمية مختارة.

التجارب $n$: العدد الثابت للتجارب المستقلة برنولي. يجب أن يكون عدداً صحيحاً موجباً. في النموذج يكون هذا هو الحقل trials.
احتمال النجاح $p$: احتمال النجاح في تجربة واحدة، حيث $0 \le p \le 1$. تنطبق نفس القيمة على كل تجربة. في النموذج هذا هو successProbability.
دالة الكتلة الاحتمالية (PMF): احتمال وجود بالضبط $k$ نجاحات: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ لـ $k = 0,1,\dots,n$.
دالة التوزيع التراكمي (CDF): المجموع الجاري لـ PMF حتى وبما فيها $k$: $F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)$. إنها دالة درج غير متناقصة تقفز عند كل عدد صحيح.
التراكم السفلي $P = P(X \le x)$: احتمال أن يكون عدد النجاحات على الأكثر $x$. عندما تختار وضع سفلي (cumulativeMode = lower)، تعيد الحاسبة أصغر $x$ حيث $F(x) \ge P$.
التراكم العلوي $Q = P(X \ge x)$: احتمال أن يكون عدد النجاحات على الأقل $x$. لأن الدعم منفصل، $P(X\ge x)=1-F(x-1)$. في الوضع العلوي تعيد الحاسبة أصغر $x$ بحيث $P(X\ge x)\le Q$ (وبالتالي أكبر ذيل لا تتجاوز كتلته $Q$).
نقطة المئين $x$: عدد النجاحات عند احتمالية تراكمية مطلوبة — قيمة الكمية أو معكوس التوزيع التراكمي. على سبيل المثال، المئين 90 هو أصغر $x$ حيث $F(x)\ge 0.90$.
الاستيفاء ضمن درج: لأن التوزيع الثنائي التراكمي هو دالة درج، فإن احتمال هدف دقيق عادة يقع بين قيمتين صحيحتين $k-1$ و $k$. يقدر الاستيفاء الخطي مئين مستمر كـ $x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}$، حيث $F(k)-F(k-1)=P(X=k)$. نقطة المئين الصحيح نفسه هو دائماً $k$؛ الاستيفاء هو فقط تحسين كسري للإبلاغ.

الأسئلة الشائعة

لماذا ليست x عدداً صحيحاً؟ لأن دالة التوزيع التراكمي ذات الحدين دالة درجية (سُلَّمية). ولكي تُرجِع الأداة نقطة مئينية ذات معنى، فإنها تُجري استكمالاً خطياً داخل الخطوة التي تحتوي احتمالك المستهدف.

ماذا يحدث عند P = 1؟ هنا يُغطّى التوزيع بالكامل، فتساوي $x$ القيمة $n$. وعند $P = 0$ تساوي $x$ الصفر.

وماذا لو كان p = 0 أو p = 1؟ تتركّز الكتلة الاحتمالية كاملةً عند $x = 0$ أو $x = n$ على الترتيب، وتعكس النقطة المئينية هذه الحالة المتدهورة.