二項分布のパーセント点計算 | 累積確率から x を逆算

試行回数 n	20
成功確率 p	0.25
目標とする累積確率	0.3

二項分布（パーセント点）計算ツールとは

このツールは、二項分布 $B(n, p)$ の累積分布関数（CDF）を逆算します。目標とする累積確率を与えると、その確率に達する値 $x$、すなわちパーセント点を返します。二項分布は離散分布のため、結果は前後の整数値の間を連続的に補間した値となり、$x$ は一般に整数にはなりません。

パーセンタイル点までの累積領域を強調した二項分布の棒グラフ — パーセンタイル点 $x$ は、累積確率が目標 $P$ に達する最小の値です。

使い方

まず累積の種類を選びます。下側累積 P は入力した確率を $P(X \le x)$ として扱い、上側累積 Q は $P(X \ge x)$ として扱います。次に、目標とする累積確率（0〜1）、試行回数 $n$、1回の試行における成功確率 $p$ を入力します。すると、パーセント点 $x$ が表示されます。

計算式の解説

確率質量関数は $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{\,n-x}$$ で表されます。下側累積分布は $P(x)$ = $t = 0$〜$x$ における $f(t)$ の総和です。本ツールはすべての整数 $k$ について $F(k)$ を計算し、$F(k-1) < P \le F(k)$ となるステップを見つけて、次のように補間します。$$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}$$上側モードでは、相補的な裾の確率 $G(k) = P(X \ge k)$ を同様に用います。

パーセンタイル点を求めるため2つの累積値間の内挿を示す階段状のCDF曲線 — CDF の逆変換：目標確率は $F(k-1)$ と $F(k)$ の間にあり、$x$ はその区間で内挿されます。

計算例

$n = 20$、$p = 0.25$、下側累積 $P = 0.3$ の場合を考えます。CDF より $F(3) = 0.225156$、$F(4) = 0.414842$ となります。$0.3$ はこのステップに含まれるため、$$x = 3 + \frac{0.3 - 0.225156}{0.414842 - 0.225156} = 3 + 0.394672 = 3.3947$$ となります。

定義と用語集

二項分布 $B(n,p)$ は、成功確率 $p$ を持つ $n$ 個の独立したベルヌーイ試行における成功数 $X$ をモデル化します。この計算機は、その累積分布関数（CDF）を反転して、選択した累積確率に対応するパーセンタイル点 $x$ を見つけます。

試行回数 $n$: 固定された独立したベルヌーイ試行の数。正の整数である必要があります。フォームではこのフィールドは trials です。
成功確率 $p$: 1 回の試行における成功の確率で、$0 \le p \le 1$ です。すべての試行に同じ値が適用されます。フォームではこれは successProbability です。
確率質量関数（PMF）: ちょうど $k$ 回の成功の確率：$P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$（$k = 0,1,\dots,n$ の場合）。
累積分布関数（CDF）: PMF の $k$ までを含めた累計：$F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)$。これは各整数で跳躍する非減少ステップ関数です。
下側累積 $P = P(X \le x)$: 成功数が最大 $x$ である確率。下側モード（cumulativeMode = lower）を選択すると、計算機は $F(x) \ge P$ を満たす最小の $x$ を返します。
上側累積 $Q = P(X \ge x)$: 成功数が最低 $x$ である確率。サポートは離散的であるため、$P(X\ge x)=1-F(x-1)$ です。上側モードでは、計算機は $P(X\ge x)\le Q$ を満たす最小の $x$ を返します（同等に、質量が $Q$ を超えない最大のテールです）。
パーセンタイル点 $x$: 要求された累積確率における成功数 — 分位点または逆 CDF 値。例えば、90 パーセンタイルは $F(x)\ge 0.90$ を満たす最小の $x$ です。
ステップ内の補間: 二項 CDF はステップ関数であるため、目標確率は通常 2 つの整数値 $k-1$ と $k$ の間に落ちます。線形補間は、連続パーセンタイルを $x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}$ と推定します。ここで $F(k)-F(k-1)=P(X=k)$ です。整数パーセンタイル点そのものは常に $k$ であり、補間は報告用の小数部の改善に過ぎません。