パレート分布のパーセント点（分位点）計算 - 高精度計算サイト

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結果

cre

パーセント点（分位点）x

パレート分布のCDFが目的の確率に達する値

下側累積確率 P	0.5
分布	第I種パレート分布

Lower-tail probability P = 0.50000000

パレート分布（パーセント点）計算ツールとは

このツールは、第I種パレート分布のパーセント点（分位点とも呼びます）を求めます。目的とする累積確率と、分布の2つの母数 ―― 尺度母数 a（最小値 $x_m$）と形状母数 b（α、テール指数）―― を指定すると、分布がその確率に達する値 $x$ を返します。パレート分布は、富や所得、都市の人口規模、ファイルサイズなど、いわゆる「80対20の法則（パレートの法則）」に従う裾の重い（heavy-tail）現象を表すモデルとして広く使われています。

使い方

まず累積の種類を選びます。確率が下側のCDF値 $P = \Pr(X \le x)$ であれば「下側累積確率 P」を、上側の生存確率 $Q = \Pr(X > x)$ であれば「上側累積確率 Q」を選択してください。次に 0 から 1 の範囲で累積確率を入力し、尺度母数 a（0 より大きいこと）と形状母数 b（0 より大きいこと）を入力します。計算ツールは入力値を下側累積確率に変換したうえで、CDFを逆算します。

計算式の解説

第I種パレート分布のCDFは、$x \ge a$ のとき $P(x) = 1 - (a/x)^b$ で表されます。これを $x$ について解くと $$x = \text{a} \cdot \left(1 - \text{P}\right)^{-1/\text{b}}$$ となります。上側累積確率 Q を与えた場合は $1 - P = Q$ なので、式は $$x = \text{a} \cdot \left(\text{Q}\right)^{-1/\text{b}}$$ になります。$a > 0$、$0 \le 1 - P \le 1$、$b > 0$ であることから、結果は常に $x \ge a$ を満たし、分布の台（サポート）の範囲内に収まります。

横方向の確率 P を分位点 x に対応させた累積分布のS字曲線 — CDFの逆変換：縦軸で確率 P を見つけ、分位点 x を読み取ります。

下側の裾が網掛けされ、x軸上に分位点を示したパレート確率密度曲線 — パーセンタイル x は、下側の網掛け部分の面積が確率 P に等しくなる点です。

計算例

上側累積の場合で、$Q = 0.1$、$a = 2$、$b = 3$ とします。すると $$x = 2 \cdot (0.1)^{-1/3} = 2 \cdot 10^{1/3} = 2 \cdot 2.15443 = 4.30887$$ となります。検算すると $Q(x) = (2 / 4.30887)^3 \approx 0.1$ となり、結果が確認できます。また $a = 1$、$b = 1$ の標準的なパレート分布で $P = 0.5$ とすると、中央値は $$x = 1 / (1 - 0.5) = 2$$ です。