一般化パレート分布のパーセント点とは
一般化パレート分布（GPD：Generalized Pareto Distribution）は、極値統計でよく用いられる連続確率分布で、高いしきい値を超えた超過量（テールの挙動）をモデル化する際に活躍します。そのパーセント点（分位点・パーセント点とも呼ばれます）とは、累積確率 \(F(x)\) が指定した確率 \(P\) と等しくなる値 \(x\) のことです。本計算ツールでは、位置母数 \(\mu\)、尺度母数 \(\sigma\)、形状母数 \(\xi\) の標準的な3つのパラメータを与え、逆累積分布関数（逆CDF）を求めます。これは純粋な統計関数であり、特定の国や制度に依存するものではありません。
使い方
まず累積確率のモードを選びます。確率が \(P = \Pr(X \le x)\) で与えられている場合は「下側累積確率 \(P\)」を、上側確率（生存確率）\(Q = \Pr(X > x)\) で与えられている場合は「上側累積確率 \(Q\)」を選択してください。後者は内部で \(P = 1 - Q\) に変換して計算します。続いて、累積確率（0〜1）、位置母数 \(\mu\)、尺度母数 \(\sigma\)（0より大きい値）、形状母数 \(\xi\) を入力します。結果として、その確率点におけるパーセント点 \(x\) が得られます。
計算式の解説
GPD の累積分布関数は、\(\xi \neq 0\) のとき $$F(x) = 1 - \left(1 + \frac{\xi (x - \mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$ \(\xi = 0\) のとき $$F(x) = 1 - \exp\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$ となります。下側累積確率 \(P\) が与えられたとき \(x\) について解くと、\(\xi \neq 0\) では $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$ \(\xi = 0\) では $$x = \mu - \sigma \ln(1 - P)$$ となります。\(\xi\) で割る計算は \(\xi = 0\) で破綻するため、\(|\xi|\) が \(1\mathrm{e}\text{-}12\) を下回る場合は指数分布のケースとして扱います。
計算例
モード＝下側、\(P = 0.9\)、\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)、\(\xi = 0.5\) の場合： $$x = \frac{1}{0.5}\left[(1 - 0.9)^{-0.5} - 1\right] = 2\left[0.1^{-0.5} - 1\right] = 2\left[3.1622777 - 1\right] = 4.3245553$$
よくある質問
\(\xi = 0\) のときはどうなりますか？ GPD は平行移動した指数分布に帰着し、分位点は上記の対数を用いた式で求められます。
上側の台（サポート）は常に無限大ですか？ いいえ。\(\xi < 0\) の場合は \(x = \mu - \sigma/\xi\) で上に有界となり、\(P = 1\) ではこの有限の端点を返します。\(\xi \ge 0\) の場合は上側のテールは無限に広がり、\(P = 1\) では正の無限大となります。
なぜ \(\sigma\) は正でなければならないのですか？ 尺度母数 \(\sigma\) は分布の広がりを定めるパラメータで、0以下では分布が定義できなくなるためです。
