सामान्यीकृत पारेटो वितरण का पर्सेंटाइल क्या होता है?
सामान्यीकृत पारेटो वितरण (GPD) एक सतत प्रायिकता वितरण है, जिसका उपयोग चरम-मान सांख्यिकी (extreme-value statistics) में डेटा के टेल यानी पुच्छ-व्यवहार को मॉडल करने के लिए बहुतायत में होता है — यानी किसी ऊँची सीमा (threshold) से ऊपर जाने वाले मानों के लिए। इसका पर्सेंटाइल (जिसे क्वांटाइल या परसेंट पॉइंट भी कहते हैं) वह मान \(x\) है जिसके लिए संचयी प्रायिकता \(F(x)\) किसी चुनी हुई प्रायिकता \(P\) के बराबर हो जाती है। यह कैलकुलेटर तीन मानक पैरामीटरों — लोकेशन \(\mu\), स्केल \(\sigma\) और शेप \(\xi\) — के आधार पर इन्वर्स संचयी वितरण फलन (inverse CDF) की गणना करता है। यह विशुद्ध रूप से एक सांख्यिकीय फलन है और किसी देश या क्षेत्राधिकार से बंधा हुआ नहीं है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले संचयी मोड चुनें। जब आपकी प्रायिकता \(P = \Pr(X \le x)\) हो, तो "निचली संचयी P" चुनें। जब आपकी प्रायिकता उत्तरजीविता प्रायिकता \(Q = \Pr(X > x)\) हो, तो "ऊपरी संचयी Q" चुनें; ऐसी स्थिति में टूल इसे अंदरूनी रूप से \(P = 1 - Q\) में बदल देता है। इसके बाद संचयी प्रायिकता (0 और 1 के बीच), लोकेशन \(\mu\), स्केल \(\sigma\) (जो 0 से बड़ा होना ज़रूरी है), और शेप \(\xi\) दर्ज करें। परिणाम उस प्रायिकता बिंदु पर पर्सेंटाइल \(x\) होगा।
सूत्र की व्याख्या
GPD का CDF, \(\xi \ne 0\) के लिए, $$F(x) = 1 - \left(1 + \frac{\xi \cdot (x - \mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi}$$ होता है, और जब \(\xi = 0\) हो तब \(F(x) = 1 - \exp\left(-\frac{x - \mu}{\sigma}\right)\) होता है। किसी निचली संचयी प्रायिकता \(P\) को देखते हुए \(x\) के लिए इसे उलटने पर, \(\xi \ne 0\) के लिए $$x = \mu + \frac{\sigma}{\xi}\left[(1 - P)^{-\xi} - 1\right]$$ मिलता है, और \(\xi = 0\) के लिए \(x = \mu - \sigma \cdot \ln(1 - P)\) मिलता है। चूँकि \(\xi\) से भाग देना शून्य पर विफल हो जाता है, इसलिए \(\text{1e-12}\) से कम किसी भी \(|\xi|\) को एक्सपोनेंशियल केस के रूप में माना जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मोड = निचला, \(P = 0.9\), \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\), \(\xi = 0.5\) के साथ: $$x = \frac{1}{0.5}\cdot\left[(1 - 0.9)^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot\left[0.1^{-0.5} - 1\right] = 2\cdot\left[3.1622777 - 1\right] = 4.3245553।$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
जब \(\xi = 0\) हो तो क्या होता है? ऐसे में GPD एक शिफ्ट किए हुए एक्सपोनेंशियल वितरण में सिमट जाता है, और क्वांटाइल ऊपर दिए गए लघुगणकीय (logarithmic) सूत्र से निकलता है।
क्या ऊपरी सपोर्ट हमेशा अनंत होता है? नहीं। यदि \(\xi < 0\) हो तो सपोर्ट ऊपर की ओर \(x = \mu - \sigma/\xi\) पर सीमित रहता है; \(P = 1\) पर कैलकुलेटर यही परिमित अंतिम बिंदु लौटाता है। यदि \(\xi \ge 0\) हो तो ऊपरी टेल असीमित होता है और \(P = 1\) पर परिणाम धन अनंत (positive infinity) आता है।
\(\sigma\) का धनात्मक होना क्यों ज़रूरी है? स्केल पैरामीटर \(\sigma\) वितरण के फैलाव को तय करता है; शून्य या ऋणात्मक \(\sigma\) पर वितरण अपरिभाषित हो जाता है।
