सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा क्या होती है?
विशेष सापेक्षता के अनुसार, जब किसी गतिशील वस्तु की चाल प्रकाश की गति \(c \approx 299{,}792{,}458 \text{ m/s}\) के करीब पहुँचती है, तो उसकी गतिज ऊर्जा न्यूटन के \(\tfrac{1}{2}mv^2\) की भविष्यवाणी से कहीं तेज़ी से बढ़ती है। इसका सटीक सूत्र है $$KE = (\gamma - 1)\,m c^{2}$$ जहाँ \(\gamma\) (लॉरेंत्ज़ गुणक) का मान \(\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}}\) होता है। जैसे-जैसे \(v \to c\) होता है, \(\gamma \to \infty\) हो जाता है, यानी प्रकाश की गति तक पहुँचने के लिए अनंत ऊर्जा की ज़रूरत पड़ेगी — यही कारण है कि द्रव्यमान वाली कोई भी वस्तु प्रकाश की गति को नहीं छू सकती।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वस्तु का विराम द्रव्यमान किलोग्राम में और उसका वेग मीटर प्रति सेकंड में दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको जूल में सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा, लॉरेंत्ज़ गुणक \(\gamma\), चाल अनुपात \(\beta = v/c\) और शास्त्रीय \(\tfrac{1}{2}mv^2\) मान दिखाता है, ताकि आप देख सकें कि सापेक्षतावादी सुधार कितना बड़ा है।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले \(\beta = v/c\) निकालें। फिर \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}\) ज्ञात करें। सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा कुल सापेक्षतावादी ऊर्जा \(\gamma m c^{2}\) में से विराम ऊर्जा \(m c^{2}\) घटाने पर मिलती है, यानी \((\gamma - 1)m c^{2}\)। कम चाल पर \(\gamma \approx 1 + \tfrac{1}{2}\beta^{2}\) होता है, इसलिए \((\gamma - 1)m c^{2} \approx \tfrac{1}{2}mv^{2}\) बन जाता है — और हमें वही परिचित न्यूटनी सूत्र वापस मिल जाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(m = 1 \text{ kg}\) है और यह \(v = 150{,}000{,}000 \text{ m/s}\) की चाल से चल रहा है। तब $$\beta = \frac{150{,}000{,}000}{299{,}792{,}458} \approx 0.50035$$ $$\beta^{2} \approx 0.25035, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{0.74965}} \approx 1.15490$$ $$KE = (1.15490 - 1) \times 1 \times (299{,}792{,}458)^{2} \approx 1.39 \times 10^{16} \text{ J}$$ इतनी अधिक चाल पर शास्त्रीय अनुमान \(\tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 150{,}000{,}000^{2} = 1.125 \times 10^{16} \text{ J}\) इस मान को साफ़ तौर पर कम आँकता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह \(\tfrac{1}{2}mv^2\) से अलग क्यों आता है? शास्त्रीय सूत्र दरअसल सापेक्षतावादी श्रेणी का केवल पहला पद है; प्रकाश की गति के लगभग 10% से ऊपर जाते ही यह अंतर उल्लेखनीय हो जाता है।
अगर मैं \(v \geq c\) दर्ज करूँ तो क्या होगा? द्रव्यमान वाली कोई वस्तु c तक न तो पहुँच सकती है और न ही उसे पार कर सकती है, इसलिए असंभव इनपुट के लिए कैलकुलेटर शून्य लौटाता है।
इसमें कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल होती हैं? पूरी तरह SI इकाइयाँ: द्रव्यमान kg में, वेग m/s में और ऊर्जा जूल में।
