Что такое релятивистская кинетическая энергия?
В специальной теории относительности кинетическая энергия движущегося тела растёт быстрее, чем предсказывает ньютоновская формула \(\tfrac{1}{2}mv^2\), по мере приближения скорости к скорости света \(c \approx 299\,792\,458\) м/с. Точное выражение имеет вид $$KE = (\gamma - 1)\,mc^2$$ где \(\gamma\) (фактор Лоренца) равен \(\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}\). Когда \(v \to c\), \(\gamma \to \infty\), поэтому для достижения скорости света потребовалась бы бесконечная энергия — именно поэтому ни одно тело с массой не может разогнаться до неё.
Как пользоваться калькулятором
Введите массу покоя тела в килограммах и его скорость в метрах в секунду. Калькулятор выдаст релятивистскую кинетическую энергию в джоулях, фактор Лоренца \(\gamma\), отношение скоростей \(\beta = v/c\), а также классическое значение \(\tfrac{1}{2}mv^2\), чтобы вы могли оценить, насколько велика релятивистская поправка.
Разбор формулы
Сначала вычисляем \(\beta = v/c\). Затем \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\). Релятивистская кинетическая энергия — это полная релятивистская энергия \(\gamma mc^2\) за вычетом энергии покоя \(mc^2\), что и даёт \((\gamma - 1)mc^2\). На малых скоростях \(\gamma \approx 1 + \tfrac{1}{2}\beta^2\), поэтому \((\gamma - 1)mc^2 \approx \tfrac{1}{2}mv^2\) — мы возвращаемся к привычной ньютоновской формуле.
Пример расчёта
Возьмём \(m = 1\) кг, движущуюся со скоростью \(v = 150\,000\,000\) м/с. Тогда $$\beta = \frac{150\,000\,000}{299\,792\,458} \approx 0{,}50035$$ $$\beta^2 \approx 0{,}25035$$ $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{0{,}74965}} \approx 1{,}15490$$ $$KE = (1{,}15490 - 1) \times 1 \times (299\,792\,458)^2 \approx 1{,}39 \times 10^{16}\ \text{Дж}$$ Классическая оценка \(\tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 150\,000\,000^2 = 1{,}125 \times 10^{16}\) Дж заметно занижает результат на такой высокой скорости.
Частые вопросы
Почему результат отличается от \(\tfrac{1}{2}mv^2\)? Классическая формула — это лишь первый член релятивистского ряда; расхождение становится существенным начиная примерно с 10 % скорости света.
Что будет, если ввести \(v \geq c\)? Ни одно тело с массой не может достичь скорости света или превысить её, поэтому при невозможных значениях калькулятор возвращает ноль.
Какие единицы измерения используются? Везде система СИ: масса в кг, скорость в м/с, энергия в джоулях.
