Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет кинетическую энергию математического маятника в процессе его колебаний. Маятник, отпущенный из состояния покоя под углом θ₀, по мере движения вниз преобразует потенциальную энергию силы тяжести в кинетическую. На любом промежуточном угле θ кинетическая энергия равна той части потенциальной энергии, которую груз уже потерял с момента отпускания.
Разбираем формулу
Высота груза над точкой отпускания меняется на величину \(L \cdot (\cos\theta - \cos\theta_0)\), где \(L\) — длина маятника от точки подвеса до центра груза. Умножив это на массу \(m\) и ускорение свободного падения \(g\), получаем высвободившуюся энергию:
$$KE = m \cdot g \cdot L \left( \cos\theta - \cos\theta_0 \right)$$
В точке отпускания (\(\theta = \theta_0\)) кинетическая энергия равна нулю. Своего максимума она достигает в нижней точке траектории (\(\theta = 0\)). Кроме того, калькулятор находит скорость груза по формуле \(v = \sqrt{2 \cdot KE / m}\) и высоту, на которую груз опустился от исходного положения.
Как пользоваться
Введите массу груза в килограммах, длину маятника в метрах, угол отпускания θ₀ и текущий угол θ в градусах, а также ускорение свободного падения (по умолчанию 9,81 м/с²). Следите, чтобы θ был меньше θ₀: без дополнительной энергии груз не может подняться выше точки, из которой его отпустили.
Пример расчёта
Груз массой 0,5 кг на нити длиной 1 м отпускают с угла 30° и он доходит до нижней точки (θ = 0). Кинетическая энергия равна $$0{,}5 \times 9{,}81 \times 1 \times (\cos 0° - \cos 30°) = 0{,}5 \times 9{,}81 \times (1 - 0{,}8660) = 0{,}6573 \text{ Дж}.$$ Скорость груза составит \(\sqrt{2 \times 0{,}6573 / 0{,}5} \approx 1{,}62\) м/с.
Частые вопросы
Почему θ должен быть меньше θ₀? Потому что маятник стартует из покоя при θ₀ и может качаться только в сторону меньших углов, набирая кинетическую энергию. Если θ > θ₀, формула даёт отрицательное значение, которое мы приравниваем к нулю.
Подходит ли это только для малых колебаний? Нет. Эта формула для энергии точна при любой амплитуде колебаний, поскольку она следует из закона сохранения энергии, а не из приближения малых углов.
Какие единицы используются? Единицы СИ: килограммы, метры, м/с². Энергия получается в джоулях, а скорость — в метрах в секунду.
