Что такое момент инерции?
Момент инерции (I) показывает, насколько сильно твёрдое тело сопротивляется изменению вращательного движения относительно заданной оси. По сути это «вращательный аналог» массы при поступательном движении. Чем больше момент инерции, тем больший крутящий момент нужен, чтобы придать телу угловое ускорение. В системе СИ измеряется в килограмм-метрах в квадрате (кг·м²).
Формула
Для многих стандартных тел момент инерции относительно естественной оси удобно записать компактно: $$I = k \cdot m \cdot r^{2}$$где m — масса, r — характерный радиус (или длина для стержня), а k — безразмерный коэффициент формы. Правильно выбранный коэффициент \(k\) учитывает распределение массы относительно оси: чем дальше масса от оси, тем больше \(k\), а значит и \(I\).
Типичные значения коэффициента: сплошной цилиндр или диск \(k = \tfrac{1}{2}\), тонкий обруч или кольцо \(k = 1\), сплошной шар \(k = \tfrac{2}{5}\), полая (тонкостенная) сфера \(k = \tfrac{2}{3}\), тонкий стержень, вращающийся вокруг центра, \(k = \tfrac{1}{12}\) (здесь \(r\) — это полная длина стержня \(L\)).
Как пользоваться калькулятором
Выберите форму, соответствующую вашему телу, введите массу в килограммах и радиус (или длину для стержня) в метрах — и получите момент инерции в кг·м². Калькулятор также показывает использованный коэффициент формы, чтобы вы могли проверить исходное допущение.
Пример расчёта
Сплошной диск массой 10 кг и радиусом 0,5 м имеет \(k = \tfrac{1}{2}\). Тогда $$I = 0{,}5 \times 10 \times 0{,}5^{2} = 0{,}5 \times 10 \times 0{,}25 = 1{,}25\ \text{кг}\cdot\text{м}^{2}.$$ Если ту же массу распределить в виде тонкого обруча (\(k = 1\)), результат удвоится до 2,5 кг·м², ведь вся масса сосредоточена на ободе.
Часто задаваемые вопросы
Имеет ли значение ось вращения? Да. Эти коэффициенты формы предполагают вращение вокруг стандартной оси симметрии (например, через центр диска или перпендикулярно через середину стержня). Для других осей применяйте теорему Гюйгенса — Штейнера (теорему о параллельных осях).
Какое значение r брать для стержня? Используйте полную длину стержня \(L\), когда выбираете вариант «стержень», поскольку коэффициент \(k = \tfrac{1}{12}\) задан для формулы $$I = \tfrac{1}{12} m L^{2}.$$
Можно ли использовать другие единицы? Формула согласована по единицам: вводите массу и длину в любой согласованной системе, и результат получится в соответствующих единицах (например, кг и м дают кг·м²).
