Что такое полярный момент инерции?
Полярный момент инерции (J), который также называют полярным моментом инерции сечения, характеризует сопротивление поперечного сечения кручению (закручиванию). Для круглых валов он напрямую входит в формулу кручения \(\tau = T\cdot r / J\), где T — приложенный крутящий момент, а r — расстояние от центра по радиусу. Чем больше J, тем меньше закручивается вал при одном и том же крутящем моменте. Этот калькулятор подходит как для сплошных круглых стержней, так и для полых круглых труб.
Как пользоваться калькулятором
Выберите тип сечения: сплошной круг или полый круг (труба). Введите наружный диаметр D. Для полого сечения дополнительно укажите внутренний диаметр (диаметр отверстия) d. Результат J выражается в единицах длины в четвёртой степени: если вы вводите диаметры в миллиметрах, то J получится в мм⁴; если в дюймах — в дюймах⁴. Калькулятор также выводит полярный момент сопротивления сечения \(Z_p = J/(D/2)\), который удобен для расчёта максимального касательного напряжения на поверхности по формуле \(\tau = T/Z_p\).
Разбор формулы
Для сплошного круга диаметром D: $$J = \frac{\pi D^{4}}{32}$$ Для полого круга нужно вычесть вклад отверстия: $$J = \frac{\pi (D^{4} - d^{4})}{32}$$ Поскольку диаметр входит в формулу в четвёртой степени, его увеличение резко повышает жёсткость на кручение, тогда как материал у центра вносит совсем небольшой вклад. Именно поэтому полые валы — это рациональное использование материала.
Пример расчёта
Полый вал имеет D = 50 мм и d = 30 мм. $$J = \frac{\pi (50^{4} - 30^{4})}{32} = \frac{\pi (6\,250\,000 - 810\,000)}{32} = \frac{\pi \times 5\,440\,000}{32} = \pi \times 170\,000 \approx 534\,070{,}75 \ \text{мм}^{4}$$ Момент сопротивления \(Z_p = J/(25) \approx 21\,362{,}83 \ \text{мм}^{3}\).
Частые вопросы
Чем отличается J от осевого момента инерции I? Для круга \(J = 2I\), поскольку \(J = I_x + I_y\), а \(I_x = I_y\). Величина J определяет работу на кручение, а I — на изгиб.
Можно ли использовать радиус вместо диаметра? Этот калькулятор работает с диаметрами. Если у вас есть радиус, сначала умножьте его на 2 или воспользуйтесь формулой \(J = \pi r^{4}/2\) для сплошного круга.
В каких единицах измеряется J? В той единице длины, которую вы вводите, возведённой в четвёртую степень. Указывайте диаметры в одинаковых единицах (либо всё в мм, либо всё в дюймах).
