극관성 모멘트란?
극관성 모멘트(J)는 극단면 2차 모멘트라고도 하며, 단면이 비틀림(토크)에 얼마나 잘 저항하는지를 나타내는 값입니다. 원형 축의 경우 비틀림 공식 \(\tau = T\cdot r / J\)에 직접 등장하는데, 여기서 T는 작용하는 토크, r은 중심에서 잰 반경 방향 거리입니다. J가 클수록 같은 토크에서 축이 덜 비틀립니다. 이 계산기는 속이 꽉 찬 둥근 봉(중실)과 속이 빈 둥근 관(중공) 모두에 사용할 수 있습니다.
계산기 사용법
먼저 단면이 중실 원형인지 중공 원형(관)인지 선택하세요. 그다음 바깥지름 D를 입력합니다. 중공 단면이라면 안지름(보어 지름) d도 함께 입력하세요. 결과 J는 길이의 4제곱 단위로 출력됩니다. 즉, 지름을 밀리미터로 입력하면 J는 mm⁴, 인치로 입력하면 in⁴로 나옵니다. 또한 이 계산기는 극단면계수 \(Z_p = J/(D/2)\)도 함께 보여 주는데, 이는 \(\tau = T/Z_p\)로 표면 최대 전단응력을 구할 때 유용합니다.
공식 풀이
지름 D인 중실 원형: $$J = \frac{\pi}{32}\left(\text{D}^{4}\right)$$ 중공 원형은 비어 있는 보어의 기여분을 빼 줍니다: $$J = \frac{\pi}{32}\left(\text{D}^{4} - \text{d}^{4}\right)$$ 지름이 4제곱으로 들어가기 때문에 지름을 키우면 비틀림 강성이 극적으로 커지는 반면, 중심에 가까운 재료는 거의 기여하지 않습니다. 바로 이런 이유로 중공 축이 재료를 효율적으로 사용하는 설계인 것입니다.
계산 예시
중공 축의 D = 50 mm, d = 30 mm라고 합시다. $$J = \frac{\pi}{32}\left(50^{4} - 30^{4}\right) = \frac{\pi}{32}\left(6{,}250{,}000 - 810{,}000\right) = \frac{\pi \times 5{,}440{,}000}{32} = \pi \times 170{,}000 \approx 534{,}070.75 \text{ mm}^4$$ 단면계수 \(Z_p = J/(25) \approx 21{,}362.83\) mm³가 됩니다.
자주 묻는 질문
J와 단면 2차 모멘트 I는 어떻게 다른가요? 원형 단면에서는 \(J = 2I\)입니다. \(J = I_x + I_y\)이고 \(I_x = I_y\)이기 때문입니다. J는 비틀림을, I는 굽힘을 지배합니다.
지름 대신 반지름을 쓸 수 있나요? 이 계산기는 지름을 입력받습니다. 반지름을 가지고 있다면 먼저 2를 곱하거나, 중실 원형의 경우 \(J = \pi r^{4}/2\) 공식을 사용하세요.
J의 단위는 무엇인가요? 입력한 길이 단위의 4제곱입니다. 지름은 반드시 같은 단위(모두 mm 또는 모두 인치)로 통일해서 입력하세요.
