원형 단면의 단면 2차 모멘트란?
단면 2차 모멘트(단면 관성 모멘트, second moment of area)는 단면의 면적이 어떤 축을 기준으로 얼마나 멀리 분포되어 있는지를 나타내는 값입니다. 둥근 축, 핀, 봉처럼 꽉 찬 원형 단면에서는 이 값이 휨(굽힘)과 처짐에 대한 저항 능력을 결정합니다. 이 계산기는 도심축(원의 중심을 지나는 지름선)을 기준으로 한 단면 2차 모멘트를 계산합니다.
계산기 사용 방법
원의 반지름을 입력할지 지름을 입력할지 선택한 뒤, 치수를 밀리미터(mm) 단위로 입력하고 계산 버튼을 누르세요. 계산기는 단면 2차 모멘트를 mm⁴ 단위로 보여 주며, 이에 대응하는 반지름·지름과 함께 휨응력 검토에 유용한 단면계수 \(S = I/r\) 값도 함께 제공합니다.
공식 설명
꽉 찬 원의 경우, 도심축을 기준으로 한 단면 2차 모멘트는 다음과 같습니다.
$$I = \frac{\pi r^{4}}{4} = \frac{\pi d^{4}}{64}$$
반지름이 4제곱으로 들어가기 때문에 크기 변화에 매우 민감합니다. 반지름을 2배로 키우면 I는 16배로 커집니다. \(d = 2r\) 이므로 \(d^{4} = 16r^{4}\) 이고 \(\frac{\pi(16r^{4})}{64} = \frac{\pi r^{4}}{4}\) 가 되어 두 식은 완전히 동일합니다.
계산 예시
반지름 \(r = 50\) mm 인 축을 생각해 봅시다. 이때 $$I = \frac{\pi \times 50^{4}}{4} = \frac{\pi \times 6{,}250{,}000}{4} \approx 4{,}908{,}738.5 \text{ mm}^{4}$$ 입니다. 단면계수는 \(S = I / r \approx 98{,}174.8 \text{ mm}^{3}\) 입니다.
자주 묻는 질문
이것은 단면 2차 모멘트인가요, 질량 관성 모멘트인가요? 이 값은 단면 2차 모멘트(단위 mm⁴)로, 보의 휨 해석과 구조 해석에 사용됩니다. 회전 운동 역학에 쓰이는 질량 관성 모멘트(단위 kg·m²)와는 다릅니다.
어느 축을 기준으로 하나요? 원의 중심을 지나는 도심축입니다. 원은 대칭이므로 어떤 지름을 기준으로 하더라도 I 값이 동일합니다.
극관성 모멘트 J는 어떻게 구하나요? 원의 경우 \(J = 2I = \frac{\pi r^{4}}{2} = \frac{\pi d^{4}}{32}\) 이며, 비틀림(torsion) 계산에 사용됩니다.
