Qu'est-ce que le moment quadratique d'un cercle ?
Le moment quadratique (aussi appelé moment d'inertie de surface ou second moment d'aire) décrit la façon dont l'aire d'une section est répartie autour d'un axe. Pour une section circulaire pleine — comme un arbre de transmission, un axe ou une tige cylindrique — il détermine la résistance de la section à la flexion et à la déformation. Ce calculateur évalue le moment quadratique par rapport à un axe central (une ligne diamétrale passant par le centre).
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez si vous souhaitez saisir le rayon ou le diamètre du cercle, entrez la dimension en millimètres, puis validez. L'outil renvoie le moment quadratique en mm⁴, ainsi que le rayon et le diamètre correspondants, et le module de flexion \(S = I/r\), très pratique pour les vérifications de contrainte en flexion.
La formule expliquée
Pour un cercle plein, le moment quadratique par rapport à n'importe quel axe central s'écrit :
$$I = \frac{\pi r^{4}}{4} = \frac{\pi d^{4}}{64}$$
Comme le rayon est élevé à la puissance quatre, la valeur est extrêmement sensible à la taille : doubler le rayon multiplie I par 16. Les deux écritures sont équivalentes puisque \(d = 2r\), donc \(d^{4} = 16r^{4}\) et \(\pi(16r^{4})/64 = \pi r^{4}/4\).
Exemple concret
Prenons un arbre de rayon \(r = 50\) mm. On obtient alors $$I = \frac{\pi \times 50^{4}}{4} = \frac{\pi \times 6\,250\,000}{4} \approx 4\,908\,738{,}5 \text{ mm}^4.$$ Le module de flexion vaut \(S = I / r \approx 98\,174{,}8 \text{ mm}^3\).
FAQ
S'agit-il du moment quadratique de surface ou du moment d'inertie de masse ? Il s'agit ici du moment quadratique de surface (en mm⁴), utilisé en flexion des poutres et en analyse de structures — et non du moment d'inertie de masse (en kg·m²) employé en dynamique de rotation.
Par rapport à quel axe est-il calculé ? Par rapport à un axe central passant par le centre du cercle. Pour un cercle, I est identique par rapport à tout diamètre, en raison de la symétrie.
Comment obtenir le moment d'inertie polaire J ? Pour un cercle, \(J = 2I = \pi r^{4}/2 = \pi d^{4}/32\), utilisé dans les calculs de torsion.
