Что такое осевой момент инерции круга?
Осевой момент инерции (его также называют моментом инерции площади сечения, или вторым моментом площади) показывает, как площадь поперечного сечения распределена относительно оси. Для сплошного круглого сечения — например, круглого вала, пальца или стержня — именно эта величина определяет сопротивление сечения изгибу и прогибу. Калькулятор вычисляет момент инерции относительно центральной оси (линии диаметра, проходящей через центр).
Как пользоваться калькулятором
Выберите, что вы хотите задать — радиус или диаметр круга, введите значение в миллиметрах и нажмите «Рассчитать». Инструмент выдаст осевой момент инерции в мм⁴, а также соответствующие радиус, диаметр и момент сопротивления сечения \(S = I/r\), который удобен при проверке напряжений на изгиб.
Разбор формулы
Для сплошного круга момент инерции относительно любой центральной оси равен:
$$I = \frac{\pi r^{4}}{4} = \frac{\pi d^{4}}{64}$$
Поскольку радиус возводится в четвёртую степень, результат крайне чувствителен к размеру: при удвоении радиуса значение I возрастает в 16 раз. Обе записи равнозначны, ведь \(d = 2r\), поэтому \(d^{4} = 16r^{4}\) и \(\frac{\pi(16r^{4})}{64} = \frac{\pi r^{4}}{4}\).
Пример расчёта
Возьмём вал с радиусом \(r = 50\) мм. Тогда $$I = \frac{\pi \times 50^{4}}{4} = \frac{\pi \times 6\,250\,000}{4} \approx 4\,908\,738{,}5 \text{ мм}^{4}.$$ Момент сопротивления сечения составит $$S = \frac{I}{r} \approx 98\,174{,}8 \text{ мм}^{3}.$$
Частые вопросы
Это осевой или массовый момент инерции? Это осевой момент инерции (площади сечения, единицы — мм⁴), который применяется в расчётах изгиба балок и строительных конструкций. Его не следует путать с массовым (моментом инерции массы, единицы — кг·м²), используемым в динамике вращения.
Относительно какой оси он считается? Относительно центральной оси, проходящей через центр круга. У круга благодаря симметрии момент инерции одинаков относительно любого диаметра.
Как получить полярный момент инерции J? Для круга \(J = 2I = \frac{\pi r^{4}}{2} = \frac{\pi d^{4}}{32}\) — эта величина используется в расчётах на кручение.
