什麼是圓形截面的面積慣性矩？
面積慣性矩（又稱面積二次矩、截面二次矩）用來描述一個截面的面積如何相對於某條軸線分布。對於實心圓截面——例如圓軸、銷釘或圓棒——這個值決定了截面抵抗彎曲與變形的能力。本計算器所計算的，是相對於形心軸（也就是通過圓心的直徑線）的慣性矩。
計算器使用方式
先選擇你要輸入圓形的半徑還是直徑，以毫米（mm）為單位填入尺寸後送出即可。工具會回傳以 mm⁴ 為單位的面積慣性矩，並附上對應的半徑、直徑，以及截面模數 \(S = I/r\)——後者在進行彎曲應力檢核時相當實用。
公式解析
對於實心圓，相對於任一形心軸的慣性矩為：
$$I = \frac{\pi r^{4}}{4} = \frac{\pi d^{4}}{64}$$由於半徑被提升到四次方，這個值對尺寸變化極為敏感：半徑加倍，\(I\) 就會放大為原來的 16 倍。兩種寫法其實完全相同，因為 \(d = 2r\)，所以 \(d^{4} = 16r^{4}\)，而 \(\pi(16r^{4})/64 = \pi r^{4}/4\)。
範例演算
假設有一根半徑 \(r = 50\) mm 的圓軸。則 $$I = \frac{\pi \times 50^{4}}{4} = \frac{\pi \times 6{,}250{,}000}{4} \approx 4{,}908{,}738.5 \text{ mm}^{4}.$$ 截面模數為 \(S = I / r \approx 98{,}174.8 \text{ mm}^{3}\)。
常見問題
這是面積慣性矩還是質量慣性矩？這是面積慣性矩（單位為 mm⁴），用於梁的彎曲與結構分析；它不同於轉動力學中使用的質量慣性矩（單位為 \(\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\)）。
它是相對於哪一條軸？是通過圓心的形心軸。由於圓的對稱性，相對於任何一條直徑所得的 \(I\) 值都相同。
如何求極慣性矩 J？對於圓而言，\(J = 2I = \pi r^{4}/2 = \pi d^{4}/32\)，用於扭轉相關的計算。
