部分填充圓面積計算器

輸入計算

圓／儲罐半徑（r）

液位深度（h）

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Fill Percentage

   

   filled area as a percent of the full circle area, where r = Radius

結果

填充（弓形）面積

61.4185

平方單位

填充百分比	19.55%
剩餘空間面積	252.7408
整圓總面積	314.1593

這個計算器的用途

本工具用來計算部分填充圓形中液體所佔的橫截面積——這正是從端面觀察臥式圓柱儲罐時會遇到的情況。只要輸入圓的半徑（\(r\)）與從底部量起的液位深度（\(h\)），就能得出已填充（弓形）面積、剩餘空間面積、總面積以及填充百分比。

The shaded circular segment is the filled cross-section of a partially full tank.

使用方法

輸入圓或儲罐的半徑，以及相同單位的液位深度（公尺、英吋、公分皆可，只要兩者單位一致即可）。深度 \(h\) 的範圍應介於 0（空罐）到 \(2r\)（全滿）之間。計算結果會以你所用長度單位的平方表示。若是臥式圓柱儲罐，將填充面積乘以儲罐長度，即可得到液體體積。

公式說明

填充區域是一個圓的弓形，其面積為：

$$A_{\text{fill}} = r^{2}\cos^{-1}\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2rh - h^{2}}$$

第一項是以液面弦為界的圓扇形面積；第二項則減去弦上方的三角楔形，僅留下弦以下的弓形部分。反餘弦（\(\cos^{-1}\)）回傳的是弧度值。當 \(h = r\) 時，液面恰好位於圓心水平線上，面積正好等於整圓的一半。

Key variables: radius r, fill depth h, and the central angle subtended by the liquid surface chord.

實際範例

假設一座儲罐半徑 \(r = 10\)，液位深度 \(h = 5\)。則 \((r-h)/r = 0.5\)，\(\cos^{-1}(0.5) = 1.047198\) 弧度。所以 \(r^{2}\cos^{-1} = 100 \times 1.047198 = 104.7198\)。第二項：\(2rh - h^{2} = 100 - 25 = 75\)，\(\sqrt{75} = 8.660254\)，乘以 \((r-h)=5\) 得 \(43.30127\)。填充面積 \(= 104.7198 - 43.30127 = 61.4185\) 平方單位。總面積 \(= \pi \cdot 100 = 314.159\)，因此填充比例約為 \(19.55\%\)。

常見問題

這會算出體積嗎？不會——它給出的是二維橫截面積。若要計算臥式儲罐體積，請乘以圓柱的長度。

如果 \(h\) 等於 \(2r\) 呢？表示圓已完全填滿，面積等於 \(\pi r^{2}\)。

該用什麼單位？任何長度單位都可以，只要半徑與深度使用相同單位即可；面積即為該單位的平方。