이 계산기의 기능
이 도구는 부분적으로 채워진 원 안에 들어 있는 액체의 단면적을 계산합니다. 가로로 누운 원통형 탱크를 옆에서 단면으로 바라봤을 때와 정확히 같은 상황이죠. 원의 반지름(\(r\))과 바닥부터 측정한 채움 높이(\(h\))를 입력하면, 채워진 부분의 면적(원의 활꼴 면적), 비어 있는 면적, 전체 면적, 그리고 채움 비율까지 한 번에 알려 줍니다.
사용 방법
원 또는 탱크의 반지름과 채움 높이를 같은 단위로 입력하세요(미터, 인치, 센티미터 등 무엇이든 좋지만 두 값의 단위는 반드시 일치해야 합니다). 채움 높이 \(h\)는 0(완전히 비어 있음)부터 \(2r\)(완전히 가득 참)까지의 범위를 가집니다. 결과는 입력한 길이 단위의 제곱(면적) 단위로 표시됩니다. 가로형 원통 탱크라면 이 단면적에 탱크 길이를 곱하면 실제 액체 부피를 구할 수 있습니다.
공식 풀이
채워진 영역은 원의 활꼴(circular segment)입니다. 그 면적은 다음과 같습니다.
$$A_{\text{fill}} = r^{2}\cos^{-1}\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2rh - h^{2}}$$
첫 번째 항은 액체 표면을 가로지르는 현(弦)까지 펼쳐진 부채꼴의 면적입니다. 두 번째 항은 그 현 위쪽의 삼각형 부분을 빼 주어, 현 아래의 활꼴만 남기는 역할을 합니다. 역코사인(\(\cos^{-1}\))은 라디안 값을 돌려줍니다. \(h = r\)일 때는 액체 표면이 정확히 중심선에 위치하므로, 면적은 원 전체의 정확히 절반이 됩니다.
계산 예시
반지름 \(r = 10\)인 탱크에 높이 \(h = 5\)만큼 채워진 경우를 살펴봅시다. \((r-h)/r = 0.5\)이고, \(\cos^{-1}(0.5) = 1.047198\) 라디안입니다. 따라서 $$r^{2}\cos^{-1} = 100 \times 1.047198 = 104.7198$$이 됩니다. 두 번째 항은 \(2rh - h^{2} = 100 - 25 = 75\), \(\sqrt{75} = 8.660254\)이고, 여기에 \((r-h)=5\)를 곱하면 \(43.30127\)입니다. 채워진 면적 \(= 104.7198 - 43.30127 = 61.4185\) 제곱 단위가 됩니다. 전체 면적은 \(\pi \cdot 100 = 314.159\)이므로, 채움 비율은 약 \(19.55\%\)입니다.
자주 묻는 질문
부피도 구해 주나요? 아닙니다. 이 계산기는 2차원 단면적을 구합니다. 가로형 탱크의 부피를 알고 싶다면 단면적에 원통의 길이를 곱하세요.
h가 2r과 같으면 어떻게 되나요? 원이 완전히 가득 찬 상태이며, 면적은 \(\pi r^{2}\)이 됩니다.
어떤 단위를 써야 하나요? 반지름과 채움 높이가 같은 단위이기만 하면 어떤 길이 단위든 괜찮습니다. 결과 면적은 그 단위의 제곱으로 표시됩니다.
