À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule l'aire de la section d'un liquide contenu dans un cercle partiellement rempli — exactement la situation rencontrée avec une cuve cylindrique horizontale vue de bout. À partir du rayon du cercle (\(r\)) et de la hauteur de liquide mesurée depuis le fond (\(h\)), il vous donne l'aire remplie (segment circulaire), l'aire vide, l'aire totale ainsi que le pourcentage de remplissage.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon du cercle ou de la cuve et la hauteur de remplissage dans la même unité (mètres, pouces, centimètres — peu importe, du moment que les deux valeurs sont exprimées dans la même unité). La hauteur \(h\) doit être comprise entre 0 (vide) et \(2r\) (totalement plein). Le résultat est exprimé dans le carré de l'unité de longueur choisie. Pour un cylindre horizontal, multipliez l'aire remplie par la longueur de la cuve afin d'obtenir le volume de liquide.
La formule expliquée
La zone remplie correspond à un segment circulaire. Son aire est :
$$A = r^{2}\cos^{-1}\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2rh - h^{2}}$$Le premier terme représente l'aire du secteur circulaire délimité par la corde au niveau de la surface du liquide ; le second terme soustrait le coin triangulaire situé au-dessus de la corde, ne laissant que le segment situé en dessous. L'arc cosinus renvoie un résultat en radians. Lorsque \(h = r\), la surface se trouve au niveau de l'axe central et l'aire correspond exactement à la moitié du cercle.
Exemple concret
Prenons une cuve de rayon \(r = 10\) remplie jusqu'à une hauteur \(h = 5\). On a alors \((r-h)/r = 0{,}5\), et \(\cos^{-1}(0{,}5) = 1{,}047198\) rad. Donc \(r^{2}\cos^{-1} = 100 \times 1{,}047198 = 104{,}7198\). Pour le second terme : \(2rh - h^{2} = 100 - 25 = 75\), \(\sqrt{75} = 8{,}660254\), multiplié par \((r-h) = 5\), soit \(43{,}30127\). Aire remplie \(= 104{,}7198 - 43{,}30127 = 61{,}4185\) unités carrées. Aire totale \(= \pi \cdot 100 = 314{,}159\), d'où un remplissage \(\approx 19{,}55\,\%\).
FAQ
Cet outil donne-t-il un volume ? Non — il fournit l'aire de la section en 2D. Multipliez-la par la longueur du cylindre pour obtenir le volume d'une cuve horizontale.
Que se passe-t-il si \(h\) est égal à \(2r\) ? Le cercle est totalement plein et l'aire est égale à \(\pi r^{2}\).
Quelles unités utiliser ? N'importe quelle unité de longueur, à condition que le rayon et la hauteur partagent la même ; l'aire est alors exprimée dans cette unité au carré.
