ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة مساحة المقطع العرضي للسائل داخل دائرة ممتلئة جزئياً — وهي بالضبط الحالة التي تواجهها مع خزان أسطواني أفقي عند النظر إليه من طرفه. بإدخال نصف قطر الدائرة (\(r\)) وعمق التعبئة المقاس من القاع (\(h\))، تعطيك الأداة المساحة الممتلئة (القطعة الدائرية)، والمساحة الفارغة، والمساحة الكلية، ونسبة الامتلاء.
كيفية الاستخدام
أدخل نصف قطر الدائرة أو الخزان وعمق التعبئة بالوحدة نفسها (أمتار، بوصات، سنتيمترات — أي وحدة تناسبك، بشرط أن يتطابق القياسان). ينبغي أن يتراوح العمق \(h\) بين 0 (فارغ تماماً) و\(2r\) (ممتلئ تماماً). تظهر النتيجة بالوحدات المربعة لوحدة الطول التي استخدمتها. وللحصول على حجم السائل في أسطوانة أفقية، اضرب المساحة الممتلئة في طول الخزان.
شرح المعادلة
المنطقة الممتلئة هي قطعة دائرية، وتُحسب مساحتها بالعلاقة التالية:
$$A = r^{2}\cos^{-1}\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2rh - h^{2}}$$يمثّل الحد الأول مساحة القطاع الدائري الممتد حتى الوتر عند سطح السائل، بينما يطرح الحد الثاني المثلث الواقع فوق الوتر، فلا يتبقى سوى القطعة الواقعة أسفله. ويُرجِع جيب التمام العكسي القيمة بالراديان. وعندما يكون \(h = r\) يقع السطح عند الخط المركزي، فتساوي المساحة نصف الدائرة تماماً.
مثال محلول
لنأخذ خزاناً نصف قطره \(r = 10\) ممتلئاً حتى عمق \(h = 5\). عندها يكون \(\frac{r-h}{r} = 0.5\)، و \(\cos^{-1}(0.5) = 1.047198\) راديان. إذن \(r^{2}\cos^{-1} = 100 \times 1.047198 = 104.7198\). أما الحد الثاني: \(2rh - h^{2} = 100 - 25 = 75\)، و\(\sqrt{75} = 8.660254\)، مضروباً في \((r-h) = 5\) يعطي \(43.30127\). المساحة الممتلئة \(= 104.7198 - 43.30127 = 61.4185\) وحدة مربعة. والمساحة الكلية \(= \pi \cdot 100 = 314.159\)، أي أن نسبة الامتلاء \(\approx 19.55\%\).
الأسئلة الشائعة
هل تعطي هذه الأداة الحجم؟ لا — فهي تعطي مساحة المقطع العرضي ثنائي الأبعاد. اضربها في طول الأسطوانة للحصول على حجم الخزان الأفقي.
ماذا لو كان \(h\) يساوي \(2r\)؟ تكون الدائرة ممتلئة تماماً وتساوي المساحة \(\pi r^{2}\).
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ أي وحدة طول، بشرط أن يشترك فيها نصف القطر والعمق؛ وتكون المساحة بمربع تلك الوحدة.
