관성 모멘트란?
관성 모멘트는 어떤 축을 중심으로 한 회전 가속에 물체가 얼마나 저항하는지를 나타내는 양으로, 회전 운동에서 질량에 해당하는 개념입니다. 강체의 동역학에서는 질량 관성 모멘트(단위 kg·m²)를 사용하고, 구조 공학에서는 단면이 휨에 얼마나 저항하는지를 나타내는 단면 2차 모멘트(단위 m⁴)를 사용합니다. 이 계산기는 가장 자주 다루는 네 가지 경우, 즉 속이 찬 원판(또는 원기둥), 속이 찬 구, 가는 막대, 직사각형 단면을 다룹니다.
사용 방법
먼저 도형을 선택한 뒤, 해당 도형에 필요한 값만 입력하면 됩니다. 원판과 구는 질량과 반지름이, 막대는 질량과 길이가, 직사각형은 밑변 너비와 높이가 필요합니다. 계산기는 선택한 도형에 맞는 표준 공식을 적용해 적절한 단위로 결과를 보여 줍니다.
공식
중심축에 대한 속이 찬 원판/원기둥: $$I = \tfrac{1}{2}\,m\,r^{2}$$. 지름축에 대한 속이 찬 구: $$I = \tfrac{2}{5}\,m\,r^{2}$$. 중심에 대한 가는 막대: $$I = \tfrac{1}{12}\,m\,L^{2}$$. 도심축에 대한 직사각형 단면(단면 2차 모멘트): $$I = \frac{b\,h^{3}}{12}$$, 여기서 \(b\)는 너비, \(h\)는 휨 방향의 높이입니다.
계산 예시
질량 10 kg, 반지름 0.5 m인 속이 찬 원판: $$I = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 0.5^{2} = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 0.25 = 1.25\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}$$ 너비 0.1 m, 높이 0.2 m인 직사각형 보: $$I = \frac{0.1 \times 0.2^{3}}{12} = \frac{0.1 \times 0.008}{12} = 0.0000667\ \text{m}^{4}$$
자주 묻는 질문
직사각형은 왜 단위가 다른가요? 직사각형은 질량이 관여하지 않는 단면 2차 모멘트를 사용하기 때문에 단위가 kg·m²가 아니라 m⁴입니다.
원기둥도 원판과 같은 공식을 쓰나요? 네. 긴 중심축을 기준으로 한 속이 찬 원기둥은 길이와 관계없이 동일하게 \(I = \tfrac{1}{2}mr^{2}\)을 적용합니다.
이 공식들은 어떤 축을 기준으로 하나요? 각 공식은 명시된 축을 기준으로 한 회전을 가정합니다. 즉 중심축(원판/원기둥), 지름축(구), 중심(막대), 도심축(직사각형)입니다.
