단면 2차 모멘트란?
단면 2차 모멘트(영어로 second moment of area 또는 area moment of inertia)는 단면의 재료가 휨 축을 기준으로 어떻게 분포되어 있는지를 나타내는 값입니다. 이 값이 클수록 단면은 휨에 더 단단하게 저항합니다. 순수하게 기하학적인 성질(단위는 길이⁴, 여기서는 mm⁴)이며, 보의 처짐과 휨응력 계산에서 가장 기본이 되는 개념입니다. 이 계산기는 가장 흔히 쓰이는 두 가지 단면, 즉 속이 찬 직사각형과 원형을 다루며, 도심(중립축)을 기준으로 한 단면 2차 모멘트와 함께 단면계수, 회전반경까지 구해 줍니다.
계산기 사용법
먼저 단면 형상을 선택하세요. 직사각형이라면 휨 축과 평행한 폭 b와 그에 수직인 높이 h를 입력합니다. 속이 찬 원형이라면 지름 d를 입력하면 됩니다. 계산 버튼을 누르면 단면 2차 모멘트 \(I\), 단면적 \(A\), 최외단까지의 거리 \(c\), 단면계수 \(S = I/c\), 그리고 회전반경 \(r = \sqrt{I/A}\)를 한 번에 얻을 수 있습니다. 모든 치수를 밀리미터(mm)로 입력해야 관성 모멘트가 mm⁴ 단위로 나옵니다.
공식 풀이
직사각형의 수평 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 다음과 같습니다.
$$I = \frac{\text{Width } b \cdot \text{Height } h^{3}}{12}$$여기서 높이가 세제곱으로 들어간다는 점에 주목하세요. 즉 보의 높이를 두 배로 키우면 휨 강성은 여덟 배로 커지지만, 폭을 두 배로 늘려도 강성은 두 배밖에 늘지 않습니다. 속이 찬 원형의 경우, 중심을 지나는 어떤 지름을 기준으로 하더라도 다음과 같습니다.
$$I = \frac{\pi \cdot \text{Diameter } d^{4}}{64}$$단면계수 \(S = I/c\) (\(c\)는 최외단 섬유까지의 거리)는 \(\sigma = M/S\) 라는 관계를 통해 휨 모멘트와 최대 응력을 직접 연결해 줍니다.
계산 예시
폭 50 mm, 높이 100 mm인 직사각형을 생각해 봅시다.
$$I = \frac{50 \times 100^{3}}{12} = \frac{50 \times 1{,}000{,}000}{12} = \frac{50{,}000{,}000}{12} \approx 4{,}166{,}666.67 \text{ mm}^{4}$$단면적은 \(50 \times 100 = 5{,}000 \text{ mm}^2\), \(c = 50 \text{ mm}\) 이므로 \(S = 4{,}166{,}666.67 / 50 \approx 83{,}333.33 \text{ mm}^3\) 가 되고, \(r = \sqrt{4{,}166{,}666.67 / 5{,}000} \approx 28.87 \text{ mm}\) 입니다.
자주 묻는 질문
질량 관성 모멘트와 같은 건가요? 아닙니다. 단면 2차 모멘트는 기하학적인 값(길이⁴)으로 휨 강성을 지배하지만, 질량 관성 모멘트(질량·길이²)는 회전 운동을 지배합니다. 서로 전혀 다른 개념입니다.
어느 축을 기준으로 하나요? 도심축을 기준으로 합니다. 직사각형은 중심을 지나는 수평축, 원형은 어떤 지름을 기준으로 해도 결과가 동일합니다.
인치(inch)로도 쓸 수 있나요? 네. 공식 자체는 단위와 무관합니다. 인치로 입력하면 단면 2차 모멘트는 inch⁴ 단위로 나오고, 나머지 값들도 같은 단위 체계를 따릅니다.
