ما هو عزم القصور الذاتي للمساحة؟
عزم القصور الذاتي للمساحة، ويُسمى أيضًا العزم الثاني للمساحة، هو مقياس لكيفية توزّع مادة المقطع العرضي حول محور الانحناء. كلما زادت قيمته، زادت مقاومة المقطع للانحناء وارتفعت صلابته. وهو خاصية هندسية بحتة (وحدتها الطول مرفوعًا للأس الرابع، وهنا مم⁴)، ويُعدّ ركيزة أساسية في حسابات انحراف الكمرات وإجهادات الانحناء. تتعامل هذه الحاسبة مع أكثر الأشكال شيوعًا وهما: المستطيل المصمت والدائرة المصمتة، حيث تُرجِع عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي (المحايد)، إلى جانب معامل المقطع ونصف قطر القصور الذاتي.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر شكل المقطع العرضي. في حالة المستطيل، أدخل العرض \(b\) (الموازي لمحور الانحناء) والارتفاع \(h\) (العمودي عليه). أما في حالة الدائرة المصمتة، فأدخل القطر \(d\). اضغط على «احسب» للحصول على عزم القصور الذاتي \(I\)، ومساحة المقطع العرضي \(A\)، والمسافة \(c\) حتى أبعد ليفة، ومعامل المقطع \(S = I/c\)، ونصف قطر القصور الذاتي \(r = \sqrt{I/A}\). احرص على إدخال جميع الأبعاد بالمليمتر حتى تخرج قيمة عزم القصور الذاتي بوحدة مم⁴.
شرح المعادلة
بالنسبة للمستطيل، يُحسب العزم الثاني للمساحة حول محوره المركزي الأفقي بالعلاقة $$I = \frac{b \cdot h^{3}}{12}.$$ لاحظ أن الارتفاع مرفوع للأس الثالث: فمضاعفة عمق الكمرة تزيد صلابتها ضد الانحناء بمقدار ثمانية أضعاف، في حين أن مضاعفة العرض تضاعفها مرة واحدة فقط. أما الدائرة المصمتة فعزمها $$I = \frac{\pi \cdot d^{4}}{64}$$ حول أي قطر يمر بالمركز. ويربط معامل المقطع \(S = I/c\) (حيث \(c\) هي المسافة حتى أبعد ليفة) بين عزم الانحناء وأقصى إجهاد مباشرةً عبر العلاقة \(\sigma = M/S\).
مثال محلول
لنأخذ مستطيلًا عرضه 50 مم وارتفاعه 100 مم. حينها $$I = \frac{50 \times 100^{3}}{12} = \frac{50 \times 1{,}000{,}000}{12} = \frac{50{,}000{,}000}{12} \approx 4{,}166{,}666.67 \text{ مم}^4.$$ وتكون المساحة \(50 \times 100 = 5{,}000\) مم²، و \(c = 50\) مم، ومن ثم \(S = 4{,}166{,}666.67 / 50 \approx 83{,}333.33\) مم³، و \(r = \sqrt{4{,}166{,}666.67 / 5{,}000} \approx 28.87\) مم.
الأسئلة الشائعة
هل هذا هو نفسه عزم القصور الذاتي الكتلي؟ لا. عزم القصور الذاتي للمساحة خاصية هندسية (وحدتها الطول⁴) وهو الذي يحكم صلابة الانحناء؛ أما عزم القصور الذاتي الكتلي (كتلة·طول²) فيحكم الديناميكا الدورانية.
أي محور يُستخدم؟ تُؤخذ القيمة حول المحور المركزي. ففي حالة المستطيل يكون المحور الأفقي المار بالمركز، وفي حالة الدائرة يعطي أي قطر النتيجة نفسها.
هل يمكنني استخدام البوصة؟ نعم — فالمعادلات لا تتقيد بوحدة معينة. إذا أدخلت القيم بالبوصة، فسيكون عزم القصور الذاتي بوحدة البوصة⁴، وتتبع بقية الكميات الوحدات نفسها.
