ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
إذا كنت تعرف نسبة مثلثية واحدة فقط لزاوية ما θ — مثل جا θ = 3/5 — وتعرف الربع الذي تقع فيه الزاوية، فإن جميع الدوال المثلثية الأخرى تصبح محددة تمامًا. تأخذ هذه الأداة تلك النسبة المفردة مع الربع، وتعيد لك الدوال الست كاملة: الجيب (جا)، وجيب التمام (جتا)، والظل (ظا)، وقاطع التمام (قتا)، والقاطع (قا)، وظل التمام (ظتا)، إضافة إلى قيمة تقريبية للزاوية.
طريقة الاستخدام
اختر الدالة التي تعرف قيمتها من القائمة المنسدلة، ثم أدخل قيمتها، وحدد الربع الذي تقع فيه الزاوية θ (الأول أو الثاني أو الثالث أو الرابع). تحديد الربع ضروري لأن النسبة وحدها لا تكشف الإشارة: فالجيب \(\sin\theta\) موجب في الربعين الأول والثاني، بينما جيب التمام \(\cos\theta\) موجب في الربعين الأول والرابع. وتطبق الحاسبة قواعد الإشارات هذه تلقائيًا.
شرح القانون المستخدم
يحوّل المحرك أولًا مدخلاتك إلى جيب وجيب تمام. أما الدوال المقلوبة فتُعكس (فمثلًا إذا أُعطيت قتا θ، فإن \(\sin\theta = 1 \div \csc\theta\)). ويُستخرج المقدار الأساسي المفقود من متطابقة فيثاغورس \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)، أي أن \(\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\)، وتُختار الإشارة بحسب الربع. وفي حالة الظل وظل التمام يُستعمل القانون \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\). وأخيرًا تُستنتج بقية الدوال من علاقات المقلوب وعلاقات القسمة.
$$\sin\theta = \text{Value}, \qquad \cos\theta = s_c\sqrt{1-\sin^2\theta}$$حيث:
$$\left\{ \begin{aligned} s_c &= +1 \ \text{in Quadrants I, IV; } -1 \ \text{in II, III} \\ \tan\theta &= \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\tfrac{1}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\tfrac{1}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\tfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
لنفترض أن \(\sin\theta = 0.6\) وأن θ تقع في الربع الثاني. عندئذٍ $$\cos\theta = -\sqrt{1 - 0.36} = -0.8$$ (سالبة في الربع الثاني). ومن ثَمَّ $$\tan\theta = 0.6 \div -0.8 = -0.75,$$ وقتا θ \(= 1 \div 0.6 \approx 1.6667\)، وقا θ \(= 1 \div -0.8 = -1.25\)، وظتا θ \(= -0.8 \div 0.6 \approx -1.3333\). وتساوي الزاوية نحو 143.13°.
الأسئلة الشائعة
لماذا أحتاج إلى تحديد الربع؟ لأن زاويتين مختلفتين قد تشتركان في القيمة نفسها للجيب (أو لجيب التمام). والربع هو الذي يثبّت إشارات الدوال المتبقية.
ماذا لو كانت القيمة غير معرّفة؟ هناك دوال غير معرّفة، مثل ظا θ عند 90° أو قتا θ عند 0°؛ وفي هذه الحالات قد تظهر الخلايا نتائج غير منتهية.
هل يمكنني إدخال قيم أكبر من 1؟ نعم بالنسبة للظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام، فهي غير محدودة؛ لكن الجيب وجيب التمام يجب أن تقع قيمتهما بين −1 و1.
