À quoi sert ce calculateur
Si vous ne connaissez qu'un seul rapport trigonométrique d'un angle θ — par exemple \(\sin\theta = 3/5\) — et que vous savez dans quel quadrant se situe cet angle, alors toutes les autres fonctions trigonométriques sont entièrement déterminées. Cet outil prend ce rapport unique ainsi que le quadrant, puis renvoie les six fonctions : sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente, accompagnées d'une valeur approchée de l'angle.
Mode d'emploi
Sélectionnez la fonction que vous connaissez dans le menu déroulant, saisissez sa valeur, puis choisissez le quadrant de θ (I, II, III ou IV). Le quadrant est indispensable, car un rapport ne suffit pas à déterminer le signe : \(\sin\theta\) est positif dans les quadrants I et II, tandis que \(\cos\theta\) est positif dans les quadrants I et IV. Le calculateur applique automatiquement ces règles de signe.
La formule expliquée
Le moteur commence par convertir votre saisie en sinus et en cosinus. Les fonctions réciproques sont inversées (par exemple, si l'on donne \(\csc\theta\), alors \(\sin\theta = 1/\csc\theta\)). Le rapport principal manquant se déduit de l'identité de Pythagore $$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,$$ d'où \(\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\) ; le signe est déterminé par le quadrant. Pour la tangente et la cotangente, on utilise \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\). Enfin, les autres fonctions découlent des relations réciproques et des quotients.
Exemple détaillé
Supposons que \(\sin\theta = 0{,}6\) et que θ se trouve dans le quadrant II. Alors $$\cos\theta = -\sqrt{1 - 0{,}36} = -0{,}8 \quad (\text{négatif au QII}).$$ On obtient donc \(\tan\theta = 0{,}6 / {-0{,}8} = -0{,}75\), \(\csc\theta = 1/0{,}6 \approx 1{,}6667\), \(\sec\theta = 1/{-0{,}8} = -1{,}25\) et \(\cot\theta = -0{,}8/0{,}6 \approx -1{,}3333\). L'angle vaut environ 143,13°.
Foire aux questions
Pourquoi le quadrant est-il nécessaire ? Parce que deux angles différents peuvent partager la même valeur de sinus (ou de cosinus). Le quadrant fixe les signes des fonctions restantes.
Que se passe-t-il si une valeur n'est pas définie ? Certaines fonctions, comme \(\tan\theta\) à 90° ou \(\csc\theta\) à 0°, ne sont pas définies ; les cases correspondantes peuvent alors afficher des résultats non finis.
Puis-je saisir des valeurs supérieures à 1 ? Oui pour tan, cot, sec et csc, qui ne sont pas bornées ; en revanche, sin et cos doivent rester compris entre −1 et 1.
