ما هو عزم القصور الذاتي الكتلي؟
يُعبّر عزم القصور الذاتي الكتلي (\(I\)) عن مدى مقاومة الجسم الصلب لأي تغيّر في حركته الدورانية حول محور معيّن، فهو المكافئ الدوراني للكتلة في الحركة الخطية. وكلما زاد عزم القصور الذاتي، احتجنا إلى عزم دوران أكبر لإكساب الجسم تسارعًا زاويًا. وحدته في النظام الدولي هي الكيلوغرام في المتر المربع (كغ·م²).
الصيغة الرياضية
بالنسبة للعديد من الأشكال القياسية، يمكن كتابة عزم القصور الذاتي حول المحور الطبيعي بصيغة مختصرة على النحو التالي: $$I = k \cdot m \cdot r^{2}$$ حيث تمثّل m الكتلة، وr نصف القطر المميّز (أو الطول في حالة القضيب)، وk معامل الشكل عديم الأبعاد. ويعكس اختيار قيمة k الصحيحة كيفية توزّع الكتلة بالنسبة إلى المحور؛ فكلما ابتعدت الكتلة عن المحور ارتفعت قيمة k وبالتالي قيمة I.
أكثر المعاملات شيوعًا هي: الأسطوانة المصمتة أو القرص \(k = \tfrac{1}{2}\)، الحلقة الرقيقة أو الطوق \(k = 1\)، الكرة المصمتة \(k = \tfrac{2}{5}\)، الكرة المجوّفة (الرقيقة) \(k = \tfrac{2}{3}\)، والقضيب الرقيق الدائر حول مركزه \(k = \tfrac{1}{12}\) (حيث يمثّل \(r\) الطول الكامل للقضيب \(L\)).
كيفية استخدام الحاسبة
اختر الشكل المطابق لجسمك، ثم أدخل الكتلة بالكيلوغرام ونصف القطر (أو الطول في حالة القضيب) بالمتر، واقرأ قيمة عزم القصور الذاتي بوحدة كغ·م². كما تعرض الحاسبة معامل الشكل الذي اعتمدته كي تتمكن من التحقق من صحة الافتراض.
مثال محلول
قرص مصمت كتلته 10 كغ ونصف قطره 0.5 م، فيكون \(k = \tfrac{1}{2}\). ومن ثَمّ: $$I = 0.5 \times 10 \times 0.5^{2} = 0.5 \times 10 \times 0.25 = 1.25 \ {\text{كغ}\cdot\text{م}}^{2}$$ ولو رُتّبت الكتلة نفسها على هيئة حلقة رقيقة (\(k = 1\)) لتضاعفت النتيجة إلى 2.5 كغ·م²، لأن الكتلة كلها تتمركز عند الحافة.
الأسئلة الشائعة
هل يؤثّر اختيار المحور؟ نعم. تفترض معاملات الشكل هذه أن الدوران يحدث حول محور التماثل المعياري (مثل المحور المار بمركز القرص، أو العمودي المار بمنتصف القضيب). أما بالنسبة للمحاور الأخرى فاستخدم مبرهنة المحاور المتوازية.
أي قيمة لـ \(r\) أستخدمها مع القضيب؟ استخدم الطول الكامل \(L\) للقضيب عند اختيار خيار القضيب، لأن المعامل \(k = \tfrac{1}{12}\) معرّف وفق الصيغة \(I = \tfrac{1}{12}mL^{2}\).
هل يمكنني استخدام وحدات أخرى؟ الصيغة متّسقة من حيث الوحدات: أدخل الكتلة والطول بأي نظام وحدات متجانس وستتبع النتيجة (مثلًا الكيلوغرام والمتر يعطيان كغ·م²).
