द्रव्यमान जड़त्व आघूर्ण कैलकुलेटर

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आकृति ठोस सिलेंडर / डिस्क (k = 1/2) पतला छल्ला / रिंग (k = 1) ठोस गोला (k = 2/5) खोखला गोला (k = 2/3) केंद्र के परितः पतली छड़ (k = 1/12)

द्रव्यमान (kg)

त्रिज्या या लंबाई (m)

परिणाम

द्रव्यमान जड़त्व आघूर्ण

1.25

kg·m²

आकार गुणक (k)	0.5
सूत्र	I = k · m · r²

द्रव्यमान जड़त्व आघूर्ण क्या है?

द्रव्यमान जड़त्व आघूर्ण (I) यह दर्शाता है कि कोई दृढ़ पिंड किसी दिए गए अक्ष के परितः अपनी घूर्णन गति में बदलाव का कितनी प्रबलता से विरोध करता है। यह रेखीय गति में द्रव्यमान के समान, घूर्णन का प्रतिरूप है। जड़त्व आघूर्ण जितना अधिक होगा, वस्तु को कोणीय रूप से त्वरित करने के लिए उतना ही अधिक बल-आघूर्ण (टॉर्क) चाहिए। इसकी SI इकाई किलोग्राम-वर्ग-मीटर (kg·m²) है।

जड़त्व आघूर्ण किसी अक्ष के परितः घूर्णन के प्रतिरोध को मापता है, जो त्रिज्या \(r\) पर द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है।

सूत्र

कई मानक आकृतियों के लिए, उनकी स्वाभाविक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण को संक्षेप में इस तरह लिखा जा सकता है — $$I = k \cdot m \cdot r^{2}$$, जहाँ m द्रव्यमान है, r विशिष्ट त्रिज्या (या छड़ के लिए लंबाई) है, और k एक विमाहीन (dimensionless) आकार गुणक है। सही \(k\) चुनने से यह तय होता है कि द्रव्यमान अक्ष के सापेक्ष किस तरह वितरित है: अक्ष से जितना दूर द्रव्यमान होगा, \(k\) उतना बढ़ेगा और इसी के साथ \(I\) भी।

आम गुणक इस प्रकार हैं: ठोस सिलेंडर या डिस्क \(k = \tfrac{1}{2}\), पतला छल्ला या रिंग \(k = 1\), ठोस गोला \(k = \tfrac{2}{5}\), खोखला (पतला) गोला \(k = \tfrac{2}{3}\), और अपने केंद्र के परितः घूमती पतली छड़ \(k = \tfrac{1}{12}\) (जहाँ \(r\) छड़ की पूरी लंबाई \(L\) है)।

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अलग-अलग आकृतियों के अलग-अलग आकार गुणांक \(k\) होते हैं जो उनका जड़त्व आघूर्ण तय करते हैं।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपनी वस्तु से मेल खाती आकृति चुनें, द्रव्यमान किलोग्राम में और त्रिज्या (या छड़ के लिए लंबाई) मीटर में दर्ज करें, फिर जड़त्व आघूर्ण kg·m² में देखें। कैलकुलेटर उपयोग किया गया आकार गुणक भी दिखाता है, ताकि आप अपनी धारणा की पुष्टि कर सकें।

हल किया गया उदाहरण

10 kg द्रव्यमान और 0.5 m त्रिज्या वाली एक ठोस डिस्क के लिए \(k = \tfrac{1}{2}\) होता है। तो $$I = 0.5 \times 10 \times 0.5^{2} = 0.5 \times 10 \times 0.25 = 1.25 \text{ kg}\cdot\text{m}^{2}$$ यदि वही द्रव्यमान एक पतले छल्ले (\(k = 1\)) के रूप में व्यवस्थित होता, तो परिणाम दोगुना यानी 2.5 kg·m² हो जाता, क्योंकि तब सारा द्रव्यमान किनारे पर होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

क्या अक्ष से फ़र्क पड़ता है? हाँ। ये आकार गुणक मानक सममिति अक्ष के परितः घूर्णन मानते हैं (जैसे डिस्क के केंद्र से होकर, या छड़ के केंद्र से लंबवत)। अन्य अक्षों के लिए समानांतर-अक्ष प्रमेय (parallel-axis theorem) का उपयोग करें।

छड़ के लिए r का कौन-सा मान लूँ? छड़ का विकल्प चुनते समय छड़ की पूरी लंबाई \(L\) का उपयोग करें, क्योंकि \(k = \tfrac{1}{12}\) को \(I = \tfrac{1}{12} m L^{2}\) के लिए परिभाषित किया गया है।

क्या मैं अन्य इकाइयों का उपयोग कर सकता हूँ? यह सूत्र इकाई के अनुरूप है: किसी भी संगत प्रणाली में द्रव्यमान और लंबाई दर्ज करें और परिणाम उसी के अनुसार मिलेगा (जैसे kg और m से kg·m² मिलता है)।