सूत्र (फॉर्मूला)

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Moment of Inertia about y-axis

I_y for a rectangle about its centroidal y-axis
Cross-sectional Area

Area of the rectangle

परिणाम

X-अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण (Ix)

4,166,666.67

mm⁴

जड़त्व आघूर्ण Iy	1,041,666.67 mm⁴
परिच्छेद क्षेत्रफल	5,000 mm²

यह क्या है

क्षेत्र जड़त्व आघूर्ण (जिसे क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण या सेकंड मोमेंट ऑफ़ एरिया भी कहते हैं) यह दर्शाता है कि किसी बीम का परिच्छेद-क्षेत्रफल किसी संदर्भ अक्ष के सापेक्ष किस तरह वितरित है। संरचनात्मक और यांत्रिक इंजीनियरिंग में यह एक अत्यंत महत्वपूर्ण गुण है, क्योंकि यह सीधे तौर पर बीम के झुकाव (बेंडिंग) के प्रति प्रतिरोध को तय करता है — जड़त्व आघूर्ण जितना अधिक होगा, बीम उतना ही ज़्यादा दृढ़ होगा और भार के नीचे उतना ही कम झुकेगा। यह कैलकुलेटर एक ठोस आयताकार परिच्छेद का जड़त्व आघूर्ण उसके दोनों केंद्रक अक्षों के सापेक्ष निकालता है।

इसका उपयोग कैसे करें

आयत की चौड़ाई b और ऊँचाई h को मिलीमीटर में दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत Ix (क्षैतिज x-अक्ष के सापेक्ष झुकाव), Iy (ऊर्ध्वाधर y-अक्ष के सापेक्ष झुकाव) और परिच्छेद का क्षेत्रफल बता देता है। परिणाम mm⁴ में मिलते हैं। ध्यान दें कि दिशा (ओरिएंटेशन) मायने रखती है: जिस अक्ष की दिशा में बड़ी विमा का घन (क्यूब) आता है, उसी का जड़त्व आघूर्ण बड़ा होता है — इसीलिए बीमों को उनकी लंबी विमा को ऊर्ध्वाधर रखकर लगाया जाता है।

सूत्र की व्याख्या

चौड़ाई b और ऊँचाई h वाले आयत के लिए, केंद्रक जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार हैं:

$$I_x = \frac{\text{Width } b \cdot \text{Height } h^{3}}{12}$$ और $$I_y = \frac{\text{Height } h \cdot \text{Width } b^{3}}{12}$$।

घन वाला पद यह दिखाता है कि x-अक्ष के सापेक्ष दृढ़ता पर ऊँचाई का प्रभाव कितना बड़ा होता है: h को दोगुना करने पर Ix आठ गुना बढ़ जाता है, जबकि b को दोगुना करने पर वह केवल दोगुना ही होता है।

चौड़ाई b, ऊँचाई h और इसके केंद्र से होकर गुजरने वाले केंद्रकीय x तथा y अक्षों वाला आयत — आयताकार अनुप्रस्थ काट जिसमें चौड़ाई b, ऊँचाई h और केंद्रकीय x तथा y अक्ष दर्शाए गए हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए एक आयत है जिसमें b = 50 mm और h = 100 mm है। तब $$I_x = \frac{50 \times 100^{3}}{12} = \frac{50{,}000{,}000}{12} \approx 4{,}166{,}666.67 \text{ mm}^4$$, और $$I_y = \frac{100 \times 50^{3}}{12} = \frac{12{,}500{,}000}{12} \approx 1{,}041{,}666.67 \text{ mm}^4$$ होगा। क्षेत्रफल $= 50 \times 100 = 5{,}000 \text{ mm}^2$ होगा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इकाइयाँ क्या हैं? जड़त्व आघूर्ण की इकाई लंबाई की चौथी घात होती है। विमाएँ mm में दर्ज करें तो परिणाम mm⁴ में मिलेंगे, और cm में दर्ज करें तो cm⁴ में।

क्या यह ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (पोलर मोमेंट) है? नहीं। यह आयताकार (समतलीय) द्वितीय आघूर्ण Ix और Iy देता है। उसी परिच्छेद के लिए ध्रुवीय आघूर्ण $J = I_x + I_y$ होता है।

क्या यह खोखले (हॉलो) परिच्छेदों को शामिल करता है? नहीं — यह एक ठोस आयत के लिए है। खोखले आयत के लिए, बाहरी आयत के जड़त्व आघूर्ण में से भीतरी आयत का जड़त्व आघूर्ण घटा दें।

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