개념 정리
단면 2차 모멘트(area moment of inertia, second moment of area)는 보(beam) 단면의 면적이 기준축을 중심으로 어떻게 분포되어 있는지를 나타내는 값입니다. 구조공학과 기계공학에서 매우 중요한 단면 특성으로, 보가 휨에 얼마나 잘 저항하는지를 직접 결정합니다. 단면 2차 모멘트가 클수록 강성(stiffness)이 높아 하중을 받았을 때 처짐(deflection)이 적습니다. 이 계산기는 속이 꽉 찬 직사각형 단면의 도심축(centroidal axis)을 기준으로 두 방향의 2차 모멘트를 계산합니다.
사용 방법
직사각형의 폭 b와 높이 h를 밀리미터(mm) 단위로 입력하세요. 계산기는 즉시 Ix(수평 x축에 대한 휨), Iy(수직 y축에 대한 휨), 그리고 단면적을 알려줍니다. 결과는 mm⁴ 단위로 표시됩니다. 방향이 중요하다는 점에 유의하세요. 세제곱되는 치수가 큰 축일수록 2차 모멘트가 커지므로, 실제로 보를 설치할 때 긴 변을 세로 방향으로 두는 이유가 바로 여기에 있습니다.
공식 설명
폭 b, 높이 h인 직사각형의 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 다음과 같습니다.
$$I_x = \frac{\text{Width } b \cdot \text{Height } h^{3}}{12}$$ $$I_y = \frac{\text{Height } h \cdot \text{Width } b^{3}}{12}$$세제곱 항을 보면 높이가 x축 강성에 왜 그렇게 큰 영향을 주는지 알 수 있습니다. 높이 h를 2배로 늘리면 Ix는 8배 커지지만, 폭 b를 2배로 늘리면 Ix는 2배만 늘어납니다.
계산 예시
b = 50 mm, h = 100 mm인 직사각형을 예로 들어보겠습니다. 이때 $$I_x = \frac{50 \times 100^{3}}{12} = \frac{50{,}000{,}000}{12} \approx 4{,}166{,}666.67 \text{ mm}^4$$이고, $$I_y = \frac{100 \times 50^{3}}{12} = \frac{12{,}500{,}000}{12} \approx 1{,}041{,}666.67 \text{ mm}^4$$입니다. 단면적은 \(50 \times 100 = 5{,}000 \text{ mm}^2\)입니다.
자주 묻는 질문
단위는 무엇인가요? 단면 2차 모멘트의 단위는 길이의 4제곱입니다. 치수를 mm로 입력하면 결과는 mm⁴로, cm로 입력하면 cm⁴로 나옵니다.
이것이 극관성모멘트(polar moment)인가요? 아닙니다. 이 계산기는 평면 단면 2차 모멘트인 Ix와 Iy를 구합니다. 동일한 단면에 대한 극관성모멘트 J는 \(I_x + I_y\)와 같습니다.
중공(中空) 단면도 계산되나요? 아닙니다. 이 계산기는 속이 꽉 찬 직사각형용입니다. 중공 직사각형의 경우, 바깥쪽 직사각형의 2차 모멘트에서 안쪽 직사각형의 2차 모멘트를 빼면 됩니다.
