जड़त्व आघूर्ण क्या है?
जड़त्व आघूर्ण किसी वस्तु के घूर्णन त्वरण के विरुद्ध प्रतिरोध को मापता है — यह द्रव्यमान का घूर्णीय समकक्ष है। ठोस पिंडों के लिए इसे द्रव्यमान जड़त्व आघूर्ण (इकाई kg·m²) कहते हैं, जिसका उपयोग गतिकी में होता है। वहीं संरचनात्मक इंजीनियरिंग में क्षेत्र जड़त्व आघूर्ण या क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण (इकाई m⁴) यह बताता है कि कोई अनुप्रस्थ काट झुकने के विरुद्ध कितना प्रतिरोध करता है। यह कैलकुलेटर चार सबसे आम स्थितियों को कवर करता है: ठोस डिस्क या बेलन, ठोस गोला, पतली छड़, और आयताकार क्षेत्र।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले आकृति चुनें, फिर केवल उसी से संबंधित मान दर्ज करें। डिस्क और गोले के लिए द्रव्यमान और त्रिज्या चाहिए; छड़ के लिए द्रव्यमान और लंबाई; आयत के लिए उसका आधार (चौड़ाई) और ऊँचाई चाहिए। कैलकुलेटर उपयुक्त मानक सूत्र लागू करता है और परिणाम सही इकाई में दिखाता है।
सूत्र
केंद्रीय अक्ष के परितः ठोस डिस्क/बेलन:
$$I = \tfrac{1}{2}\,m\,r^{2}$$व्यास के परितः ठोस गोला:
$$I = \tfrac{2}{5}\,m\,r^{2}$$केंद्र के परितः पतली छड़:
$$I = \tfrac{1}{12}\,m\,L^{2}$$अपने केंद्रक के परितः आयताकार अनुप्रस्थ काट (क्षेत्र आघूर्ण):
$$I = \frac{b\,h^{3}}{12}$$जहाँ \(b\) चौड़ाई है और \(h\) झुकने की दिशा में ऊँचाई है।
हल किया गया उदाहरण
10 kg द्रव्यमान और 0.5 m त्रिज्या वाली ठोस डिस्क:
$$I = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 0.5^{2} = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 0.25 = 1.25\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}$$0.1 m चौड़ी और 0.2 m ऊँची आयताकार बीम:
$$I = \frac{0.1 \times 0.2^{3}}{12} = \frac{0.1 \times 0.008}{12} = 0.0000667\ \text{m}^{4}$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
आयत के लिए अलग इकाई क्यों? आयत में क्षेत्र जड़त्व आघूर्ण का उपयोग होता है (इसमें द्रव्यमान शामिल नहीं), इसलिए इसकी इकाई kg·m² के बजाय m⁴ होती है।
क्या बेलन में डिस्क जैसा ही सूत्र लगता है? हाँ — अपनी लंबी केंद्रीय अक्ष के परितः ठोस बेलन के लिए लंबाई चाहे कुछ भी हो, वही \(I = \tfrac{1}{2}mr^{2}\) लागू होता है।
ये सूत्र किस अक्ष को मानकर बनते हैं? प्रत्येक सूत्र बताई गई अक्ष के परितः घूर्णन मानता है: केंद्रीय अक्ष (डिस्क/बेलन), एक व्यास (गोला), केंद्र (छड़), और केंद्रकीय अक्ष (आयत)।
