प्रथम प्रकार का संगामी हाइपरज्यामितीय फ़ंक्शन M(a,b,z)

गणना दर्ज करें

a

b

z

परिणाम

M(a, b, z)

1.4051149172

संगामी हाइपरज्यामितीय फ़ंक्शन (प्रथम प्रकार)

फ़ंक्शन	M(a,b,z) = ₁F₁(a; b; z)
प्रयुक्त श्रेणी पद	15

कुमर फ़ंक्शन M(a,b,z) क्या है?

प्रथम प्रकार का संगामी हाइपरज्यामितीय फ़ंक्शन, जिसे \(M(a,b,z)\) या \({}_1F_1(a;b;z)\) लिखा जाता है, कुमर के अवकल समीकरण \(z\cdot y'' + (b - z)\cdot y' - a\cdot y = 0\) के दो स्वतंत्र हलों में से एक है। यह भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में हर जगह दिखाई देता है — क्वांटम यांत्रिकी (त्रिज्यीय कूलॉम तरंग-फलन), प्रायिकता (अकेन्द्रीय काई-वर्ग और संबंधित बंटन), ऊष्मा चालन, और बेसेल-फ़ंक्शन निरूपण में। यह कैलकुलेटर इसे वास्तविक प्राचल \(a\) और \(b\) तथा वास्तविक तर्क \(z\) के लिए हल करता है। यह एक शुद्ध-गणित का उपकरण है, जिसमें किसी क्षेत्र या इकाई से जुड़ी कोई धारणा नहीं है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहला प्राचल \(a\), दूसरा प्राचल \(b\) और तर्क \(z\) दर्ज करें, फिर \(M(a,b,z)\) का मान देखें। ध्यान रहे कि \(b\) का मान शून्य या ऋणात्मक पूर्णांक नहीं होना चाहिए, क्योंकि ऐसे मानों से हर शून्य हो जाता है; ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर इनपुट को अमान्य बता देता है। यदि \(a\) एक अधनात्मक (शून्य या ऋणात्मक) पूर्णांक है, तो श्रेणी समाप्त हो जाती है और \(M\), \(z\) में एक बहुपद में सिमट जाता है — यह सही व्यवहार है, कोई त्रुटि नहीं।

सूत्र की व्याख्या

यह श्रेणी $$M\!\left(a,\, b,\, z\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n}\,\frac{z^{\,n}}{n!}$$ का योग करती है, जहाँ पॉकहैमर प्रतीक \((x)_n = x(x+1)\cdots(x+n-1)\) है। फ़ैक्टोरियल और आरोही फ़ैक्टोरियल अलग-अलग निकालने के बजाय, कैलकुलेटर हर पद को पिछले पद से बनाता है: $$t_{n+1} = t_n \cdot \frac{a+n}{b+n} \cdot \frac{z}{n+1},$$ जो \(t_0 = 1\) से शुरू होता है। योग तब रुकता है जब कोई नया पद चालू योग की तुलना में नगण्य (लगभग \(1\mathrm{e}{-17}\)) हो जाए, या एक सुरक्षित पुनरावृत्ति सीमा के बाद।

M(a,b,z) कुमर श्रेणी का योग है, जिसके पद n बढ़ने पर घटते जाते हैं.

हल किया गया उदाहरण

\(a = 2\), \(b = 3\), \(z = 0.5\) के लिए: पद \(1\), \(0.33333\), \(0.0625\), \(0.0083333\), \(0.00086806\), \(0.000074405\), … हैं, जिनका योग $$M(2,3,0.5) \approx 1.4051145$$ आता है।

z के सापेक्ष M(a,b,z) धनात्मक प्राचलों के लिए लगभग चरघातांकी रूप से बढ़ता है.

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

M(a,b,0) कितना होता है? किसी भी \(a\) और \(b\) के लिए यह हमेशा ठीक \(1\) होता है, क्योंकि पहले पद के बाद हर पद में \(z\) का एक गुणक होता है।

b पर प्रतिबंध क्यों है? शून्य या ऋणात्मक-पूर्णांक \(b\) से पॉकहैमर हर \((b)_n\) शून्य हो जाता है, इसलिए वहाँ फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता।

क्या यह बड़े z के लिए सटीक है? यह श्रेणी सभी परिमित \(z\) के लिए अभिसरित होती है, परंतु बड़े धनात्मक \(z\) पर होने वाली निरस्तीकरण (cancellation) डबल-प्रिसिज़न को कमज़ोर कर देती है; भरोसेमंद अंकों के लिए \(|z|\) को सीमित रखें (लगभग 50 से कम)।