什么是 Kummer 函数 M(a,b,z)？
第一类合流超几何函数记作 \(M(a,b,z)\) 或 \({}_1F_1(a;b;z)\)，是 Kummer 微分方程 \(z\cdot y'' + (b - z)\cdot y' - a\cdot y = 0\) 的两个独立解之一。它在物理学和应用数学中无处不在——量子力学中的径向库仑波函数、概率论中的非中心卡方分布及相关分布、热传导，以及贝塞尔函数的表示式中都能见到它的身影。本计算器可对实数参数 \(a\)、\(b\) 以及实数自变量 \(z\) 进行求值。它是一款纯数学工具，不涉及任何地区性或单位上的假设。
使用方法
输入第一个参数 \(a\)、第二个参数 \(b\) 和自变量 \(z\)，即可读取 \(M(a,b,z)\) 的结果。参数 \(b\) 不能为零或负整数，因为这会使分母为零；遇到此类输入时，计算器会将其标记为无效。如果 \(a\) 为非正整数，级数会在有限项后终止，\(M\) 退化为关于 \(z\) 的多项式——这是正确的结果，并非错误。
公式解析
该级数对 \((a)_n/(b)_n \cdot z^n/n!\) 求和，其中 Pochhammer 符号（升阶乘）定义为 \((x)_n = x(x+1)\cdots(x+n-1)\)。计算器并不单独计算阶乘和升阶乘，而是利用递推关系由前一项推出下一项：$$t_{n+1} = t_n \cdot \frac{a+n}{b+n} \cdot \frac{z}{n+1}$$ 从 \(t_0 = 1\) 开始。当新增项相对于累加和已可忽略不计（约 \(\text{1e-17}\)）或达到安全迭代上限时，求和即停止。
计算实例
取 \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(z = 0.5\)：各项依次为 \(1\)、\(0.33333\)、\(0.0625\)、\(0.0083333\)、\(0.00086806\)、\(0.000074405\)……累加后得到 $$M(2,3,0.5) \approx 1.4051145$$
常见问题
M(a,b,0) 等于多少？无论 \(a\) 和 \(b\) 取何值，结果恒为 \(1\)，因为除第一项外的每一项都含有 \(z\) 因子。
为什么对 b 有限制？当 \(b\) 为零或负整数时，Pochhammer 分母 \((b)_n\) 会变为零，函数在此处没有定义。
对于较大的 z 是否仍然精确？该级数对一切有限的 \(z\) 都收敛，但当 \(z\) 为较大正数时会产生抵消误差，侵蚀双精度的有效位数；为获得可靠的结果，建议将 \(|z|\) 控制在适中范围内（大致不超过 \(50\)）。
