第１種合流型超幾何関数 M(a,b,z) とは
第一種合流型超幾何関数は \(M(a,b,z)\) または \(_1F_1(a;b;z)\) と書かれ、クンマーの微分方程式 \(z\cdot y'' + (b - z)\cdot y' - a\cdot y = 0\) の二つの独立な解のうちの一つです。物理学や応用数学のあらゆる場面に登場し、量子力学（クーロン波動関数の動径部分）、確率論（非心カイ二乗分布などの関連分布）、熱伝導、ベッセル関数の表示などで用いられます。本ツールは、実数パラメータ \(a\), \(b\) と実数引数 \(z\) に対してこの関数を計算します。地域や単位に依存しない、純粋な数学計算ツールです。
使い方
第１パラメータ \(a\)、第２パラメータ \(b\)、引数 \(z\) を入力すると、\(M(a,b,z)\) の値が求まります。\(b\) が分母を 0 にしてしまうため、\(b\) には 0 や負の整数を指定できません。これらを入力した場合は無効として表示されます。\(a\) が 0 以下の整数のときは級数が有限項で打ち切られ、\(M\) は \(z\) の多項式に帰着します。これはエラーではなく正しい挙動です。
計算式の解説
級数は次の和で表されます。
$$M(a,b,z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n} \frac{z^{\,n}}{n!}$$ここでポッホハマー記号は \((x)_n = x(x+1)\cdots(x+n-1)\) です。本ツールでは階乗や上昇階乗を個別に計算するのではなく、各項を直前の項から \(t_{n+1} = t_n \cdot \frac{a+n}{b+n} \cdot \frac{z}{n+1}\)（初項 \(t_0 = 1\)）として漸化的に求めます。新たな項が累計和に対して無視できる大きさ（およそ \(10^{-17}\)）になるか、安全な反復回数の上限に達した時点で和を打ち切ります。
計算例
\(a = 2\)、\(b = 3\)、\(z = 0.5\) の場合、各項は \(1, 0.33333, 0.0625, 0.0083333, 0.00086806, 0.000074405, \ldots\) となり、その総和は \(M(2,3,0.5) \approx 1.4051145\) になります。
よくある質問
M(a,b,0) はいくつになりますか？ \(a\) や \(b\) の値によらず、常にちょうど 1 です。初項より後のすべての項に \(z\) の因子が含まれるためです。
なぜ b に制限があるのですか？ \(b\) が 0 や負の整数だと、ポッホハマー記号の分母 \((b)_n\) が 0 になってしまい、関数が定義できなくなるためです。
z が大きくても正確に計算できますか？ 級数はすべての有限な \(z\) で収束しますが、\(z\) が大きな正の値だと項どうしの桁落ちが生じ、倍精度の有効桁が失われます。信頼できる桁数を得るには \(|z|\) を中程度（おおむね 50 未満）に抑えてください。
