제1종 합류 초기하 함수 M(a,b,z)

계산 입력

a

b

z

결과

M(a, b, z)

1.4051149172

합류 초기하 함수 (제1종)

함숫값	M(a,b,z) = ₁F₁(a; b; z)
사용된 급수 항 수	15

쿠머 함수 M(a,b,z)란?

제1종 합류 초기하 함수는 \(M(a,b,z)\) 또는 \({}_1F_1(a;b;z)\)로 표기하며, 쿠머 미분방정식 \(z\cdot y'' + (b - z)\cdot y' - a\cdot y = 0\)의 두 독립 해 중 하나입니다. 이 함수는 물리학과 응용수학 전반에 걸쳐 등장합니다 — 양자역학(쿨롱 파동함수의 동경 성분), 확률론(비중심 카이제곱 분포 및 관련 분포), 열전도, 그리고 베셀 함수 표현 등이 그 예입니다. 이 계산기는 실수 매개변수 \(a\), \(b\)와 실수 인수 \(z\)에 대해 함숫값을 계산합니다. 지역이나 단위에 관한 가정이 전혀 없는 순수 수학 도구입니다.

사용 방법

첫 번째 매개변수 \(a\), 두 번째 매개변수 \(b\), 그리고 인수 \(z\)를 입력하면 \(M(a,b,z)\) 값을 확인할 수 있습니다. \(b\)는 0이거나 음의 정수가 되어서는 안 되는데, 이런 값은 분모를 0으로 만들기 때문입니다. 계산기는 이러한 입력을 잘못된 값으로 표시합니다. 만약 \(a\)가 0 이하의 정수라면 급수가 유한 항에서 끝나며 \(M\)은 \(z\)에 관한 다항식으로 단순화됩니다 — 이는 오류가 아니라 정상적인 동작입니다.

공식 설명

이 급수는 다음과 같습니다.

$$M(a,b,z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n}\,\frac{z^{\,n}}{n!}$$

여기서 포흐하머 기호는 \((x)_n = x(x+1)\cdots(x+n-1)\)입니다. 계산기는 계승과 상승 계승을 따로 계산하는 대신, 이전 항으로부터 각 항을 \(t_{n+1} = t_n \cdot \dfrac{a+n}{b+n} \cdot \dfrac{z}{n+1}\) 관계식으로 만들어 나가며, \(t_0 = 1\)에서 시작합니다. 새 항이 누적 합에 비해 무시할 만큼 작아지거나(약 1e-17) 안전한 반복 횟수 상한에 도달하면 합산을 멈춥니다.

M(a,b,z)는 쿠머 급수의 합으로, 각 항은 n이 커질수록 작아집니다.

계산 예시

\(a = 2\), \(b = 3\), \(z = 0.5\)인 경우 각 항은 \(1,\ 0.33333,\ 0.0625,\ 0.0083333,\ 0.00086806,\ 0.000074405,\ \ldots\)이며, 이를 모두 더하면 \(M(2,3,0.5) \approx 1.4051145\)가 됩니다.

z에 대해 그린 M(a,b,z)는 양의 매개변수에서 대체로 지수 함수처럼 증가합니다.

자주 묻는 질문

M(a,b,0)은 얼마인가요? \(a\)와 \(b\)가 무엇이든 항상 정확히 1입니다. 첫 번째 항을 제외한 모든 항이 \(z\)를 인수로 포함하기 때문입니다.

왜 b에 제한이 있나요? \(b\)가 0이거나 음의 정수이면 포흐하머 분모 \((b)_n\)이 0이 되어 함수가 정의되지 않기 때문입니다.

z가 클 때도 정확한가요? 이 급수는 모든 유한한 \(z\)에 대해 수렴하지만, \(z\)가 큰 양수일 경우 항들 사이의 상쇄가 발생해 배정밀도의 정확도가 떨어집니다. 신뢰할 수 있는 자릿수를 얻으려면 \(|z|\)를 적당한 범위(대략 50 미만)로 유지하세요.