원형 활꼴 넓이 계산기

계산 입력

반지름 (r)

중심각 (θ)

각도 단위 도(°) 라디안

결과

원형 활꼴 넓이

7.135

제곱 단위

중심각 (라디안)	1.570796
호의 길이	7.854
현의 길이	7.0711
시이타 (높이)	1.4645

원형 활꼴이란?

원형 활꼴(circular segment)은 직선(현)으로 '잘려 나간' 원의 한 부분을 말합니다. 즉, 현과 그 현이 이루는 호 사이에 둘러싸인 영역이죠. 이 계산기는 원의 반지름과 현에 대응하는 중심각을 입력하면 활꼴의 넓이를 구해 주고, 더불어 호의 길이, 현의 길이, 시이타(활꼴의 최대 높이)까지 함께 알려 줍니다.

활꼴은 현과 그 호 사이의 영역으로, 반지름 \(r\)과 중심각 \(\theta\)로 정의됩니다.

계산기 사용 방법

먼저 원의 반지름 r과 중심각 θ를 입력하세요. 각도 단위는 도(°)와 라디안 중에서 선택할 수 있습니다. 도 단위를 선택하면 계산기가 공식을 적용하기 전에 자동으로 라디안으로 변환해 줍니다. '계산하기'를 누르면 활꼴 넓이와 함께 호의 길이, 현의 길이, 활꼴 높이를 확인할 수 있습니다.

공식 풀이

활꼴의 넓이는 다음 공식으로 구합니다.

$$A = \frac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$

여기서 θ는 반드시 라디안 단위여야 합니다. \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\theta\)는 부채꼴(피자 조각 모양)의 넓이이고, \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\sin\theta\)는 두 반지름과 현이 이루는 삼각형의 넓이입니다. 부채꼴에서 이 삼각형을 빼면 정확히 활꼴만 남게 됩니다. 도를 라디안으로 바꾸려면 \(\frac{\pi}{180}\)을 곱하면 됩니다.

활꼴의 넓이는 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 뺀 값으로, \(A = \tfrac{1}{2}r^{2}(\theta - \sin\theta)\) 입니다.

예제로 익히기

\(r = 5\), \(\theta = 90°\)라고 해 봅시다. 먼저 변환하면 \(\theta = 90 \times \frac{\pi}{180} = 1.570796\ \text{rad}\)가 됩니다. 그리고 \(\sin\theta = \sin(90°) = 1\)입니다. 따라서 $$A = 0.5 \times 25 \times (1.570796 - 1) = 0.5 \times 25 \times 0.570796 = 7.13495$$ 제곱 단위입니다. 현의 길이는 \(2 \times 5 \times \sin(45°) \approx 7.0711\)이고, 시이타(활꼴 높이)는 \(5 \times (1 - \cos 45°) \approx 1.4645\)입니다.

자주 묻는 질문

중심각과 호는 같은 건가요? 중심각 \(\theta\)는 원의 중심에서 현의 양 끝점으로 향하는 두 반지름 사이의 각도입니다. 호의 길이는 \(r\cdot\theta\)로 구합니다(θ는 라디안 단위).

각도가 180°보다 크면 어떻게 되나요? 공식은 θ가 360°(2π)까지여도 그대로 적용됩니다. θ가 180°를 넘으면 더 큰 쪽인 '우(優)활꼴'의 넓이를 구하게 됩니다.

결과의 단위는 무엇인가요? 넓이는 반지름에 사용한 단위의 제곱으로 나옵니다. 예를 들어 r을 cm로 입력했다면 넓이는 cm²가 됩니다.