원형 활꼴이란?
원형 활꼴(circular segment)은 직선(현)으로 '잘려 나간' 원의 한 부분을 말합니다. 즉, 현과 그 현이 이루는 호 사이에 둘러싸인 영역이죠. 이 계산기는 원의 반지름과 현에 대응하는 중심각을 입력하면 활꼴의 넓이를 구해 주고, 더불어 호의 길이, 현의 길이, 시이타(활꼴의 최대 높이)까지 함께 알려 줍니다.
계산기 사용 방법
먼저 원의 반지름 r과 중심각 θ를 입력하세요. 각도 단위는 도(°)와 라디안 중에서 선택할 수 있습니다. 도 단위를 선택하면 계산기가 공식을 적용하기 전에 자동으로 라디안으로 변환해 줍니다. '계산하기'를 누르면 활꼴 넓이와 함께 호의 길이, 현의 길이, 활꼴 높이를 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
활꼴의 넓이는 다음 공식으로 구합니다.
$$A = \frac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$여기서 θ는 반드시 라디안 단위여야 합니다. \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\theta\)는 부채꼴(피자 조각 모양)의 넓이이고, \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\sin\theta\)는 두 반지름과 현이 이루는 삼각형의 넓이입니다. 부채꼴에서 이 삼각형을 빼면 정확히 활꼴만 남게 됩니다. 도를 라디안으로 바꾸려면 \(\frac{\pi}{180}\)을 곱하면 됩니다.
예제로 익히기
\(r = 5\), \(\theta = 90°\)라고 해 봅시다. 먼저 변환하면 \(\theta = 90 \times \frac{\pi}{180} = 1.570796\ \text{rad}\)가 됩니다. 그리고 \(\sin\theta = \sin(90°) = 1\)입니다. 따라서 $$A = 0.5 \times 25 \times (1.570796 - 1) = 0.5 \times 25 \times 0.570796 = 7.13495$$ 제곱 단위입니다. 현의 길이는 \(2 \times 5 \times \sin(45°) \approx 7.0711\)이고, 시이타(활꼴 높이)는 \(5 \times (1 - \cos 45°) \approx 1.4645\)입니다.
자주 묻는 질문
중심각과 호는 같은 건가요? 중심각 \(\theta\)는 원의 중심에서 현의 양 끝점으로 향하는 두 반지름 사이의 각도입니다. 호의 길이는 \(r\cdot\theta\)로 구합니다(θ는 라디안 단위).
각도가 180°보다 크면 어떻게 되나요? 공식은 θ가 360°(2π)까지여도 그대로 적용됩니다. θ가 180°를 넘으면 더 큰 쪽인 '우(優)활꼴'의 넓이를 구하게 됩니다.
결과의 단위는 무엇인가요? 넓이는 반지름에 사용한 단위의 제곱으로 나옵니다. 예를 들어 r을 cm로 입력했다면 넓이는 cm²가 됩니다.
