중심각으로 구하는 활꼴 넓이 계산기

계산 입력

반지름 r

Central angle θ

각도 단위 Degrees Radians

결과

활꼴 넓이 S

0.6141848493

제곱 길이 단위

호 길이 L	2.0943951024
현 길이 c	1.7320508076
중심각(라디안)	2.0943951024

활꼴이란 무엇인가요?

활꼴(circular segment)은 하나의 현과 그 현이 마주 보는 호로 둘러싸인 원의 한 부분입니다. 원을 직선으로 한 번 잘랐다고 상상해 보세요. 그 직선과 곡선 사이에 남는 잘린 조각이 바로 활꼴입니다. 이 계산기는 반지름과 중심각만 있으면 세 가지 핵심 값을 구해 줍니다. 활꼴의 넓이 \(S\), 호 길이 \(L\), 그리고 현 길이 \(c\)입니다. 순수한 기하학 공식이므로 어떤 길이 단위를 쓰든 그대로 적용할 수 있습니다.

활꼴은 현과 그 호 사이의 영역입니다.

사용 방법

반지름 \(r\)과 중심각 \(\theta\)를 입력하세요. 단위 선택 버튼으로 각도를 '도(degree)'로 입력할지 '라디안(radian)'으로 입력할지 고르면 됩니다. 계산기는 내부적으로 각도를 라디안으로 변환한 뒤 모든 공식을 계산하며, 결과는 높은 정밀도로 표시됩니다. 각도는 0도에서 360도(0에서 \(2\pi\) 라디안) 범위가 적당하며, 360도(한 바퀴)에 이르면 활꼴은 원 전체가 됩니다.

공식 자세히 보기

\(\theta\)를 라디안으로, \(r\)을 반지름이라고 할 때:

넓이:

$$S = \tfrac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$

이는 부채꼴 넓이 \(\tfrac{1}{2} r^{2}\theta\)에서 삼각형 넓이 \(\tfrac{1}{2} r^{2} \sin\theta\)를 뺀 값입니다.

호 길이:

$$L = r\theta$$

\(2r\theta\)가 아니라 \(r\)에 \(\theta\)를 곱한 값이라는 점에 주의하세요.

현 길이:

$$c = 2r \cdot \sin\left(\theta/2\right)$$

여기서 사인 함수에는 항상 라디안 값을 넣습니다.

반지름 r과 중심각 θ가 호의 길이, 현, 활꼴의 넓이를 결정합니다.

예제로 풀어보기

\(r = 1\), \(\theta = 120\)도인 경우를 살펴봅시다. 먼저 변환하면 $$\theta = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.0943951$$입니다. 그러면 \(\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254\)가 됩니다. 넓이 $$S = 0.5 \times 1 \times (2.0943951 - 0.8660254) = 0.6141848,$$ 호 길이 $$L = 1 \times 2.0943951 = 2.0943951,$$ 현 길이 $$c = 2 \times \sin(60°) = 1.7320508$$(즉 \(\sqrt{3}\))입니다.

자주 묻는 질문

호 길이는 \(2r\theta\)인가요? 아닙니다. 올바른 호 길이는 \(\theta\)를 라디안으로 했을 때 \(L = r\theta\)입니다.

반지름이 0이면 어떻게 되나요? 반지름이 0이면 한 점으로 퇴화하므로 모든 결괏값이 0이 됩니다.

각도가 180도를 넘어도 되나요? 됩니다. 360도까지는 이 공식이 큰 쪽 활꼴의 넓이를 정확히 계산해 주며, 정확히 360도가 되면 원 전체의 넓이 \(\pi r^{2}\)가 나옵니다.